算术基本定理

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1、关于质和计算基本定理的问题一、知识大于1的整数总有两个不同的正约数：1和.若仅有两个正约数（称没有正因子），则称为质数（或素数）.若有真因子，即可以表示为的形式（这里为大于1的整数），则称为合数.正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论1.大于1的整数必有素约数.2.设为素数，为任意一个整数，则或者整除，或者与互素.事实上，与的最大公约数必整除，故由素数的定义推知，或者，或者，即或者与互素，或者.3.设为素数，为整数.若，则中至少有一个数被整除.事实上，若不整除，由性质2知，与均互素，从而与互素。这与已知的矛盾.

2、特别地：若素数整除，则4.定理1素数有无限多个(公元前欧几里得给出证明)证明：（反证法）假设只有k个素数，设它们是。记。（N不一定是素数）由第一节定理2可知，有素因数，我们要说明从而得出矛盾事实上，若有某个使得则由推出，这是不可能的。因此在之外又有一个素数，这与假设是矛盾的。所以素数不可能是有限个。5.引理1任何大于1的正整数可以写成素数之积，即(1)其中是素数。证明当时，结论显然成立。假设对于，式(1)成立，我们来证明式(1)对于也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数成立。如果是素数，式(1)显然成立。如果是合数，则存

3、在素数与整数，使得。由于，由归纳假定知存在素数，使得，从而。证毕。6.定理2(算术基本定理)任何大于1的整数可以唯一地表示成，(2)其中是素数，，是正整数。我们称是的标准分解式，其中是素数，，是正整数.证明：由引理1，任何大于1的整数可以表示成式(2)的形式，因此，证明表示式(2)的唯一性。假设与都是素数，，，(3)并且，(4)则由第三节定理4推论1，必有某个，使得，所以；又有某个，使得，所以。于是，由式(3)可知，从而由式(4)得到重复上述这一过程，得到证毕。7.定理：若设为的正约数的个数，为的正约数之和，则有（1）（2）8.推论

4、1使用式(2)中的记号，有(ⅰ)的正因（约）数d必有形式d=(ⅱ)的正倍数必有形式9.推论2设正整数a与b的标准分解式是，其中p1,p2,L,pk是互不相同的素数，ai，bi（1£i£k）都是非负整数，则10.推论3设a，b，c，n是正整数，ab=cn，(a,b)=1，(5)则存在正整数u，v，使得a=un，b=vn，c=uv，(u,v)=1。证明设c=，其中p1,p2,L,pk是互不相同的素数，gi（1£i£k）是正整数。又设，其中aI，bi（1£i£k）都是非负整数。由式(5)及推论2¢可知min{ai,bi}=0，ai+bi=

5、ngi，1£i£k，因此，对于每个i（1£i£k），等式ai=ngi，bi=0与ai=0，bi=ngi有且只有一个成立。这就证明了推论。证毕。11.定理：对任意的正整数及素数，记号表示，即是的标准分解中出现的的幂.设，为素数，，则这里表示不超过实数的最大整数.由于当时,则，故上面和式中只有有限多个项非零.另一种表现形式：设为任一素数，在中含的最高乘方次数记为，则有：证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个的倍数，，当时，，所以命题成立。另证：对于任意固定

6、的素数，以表示在的标准分解式中的的指数，则以表示中等于的个数，那么(2)显然，就是在中满足½并且pj+1的整数的个数，所以由定理2有。将上式代入式(2)，得到即式(1)成立。证毕。二、重要方法证明某些特殊形式的数不是素数（或给出其为素数的必要条件）是初等数论中较为基本的问题，其方法是应用各种分解技术（如代数式的分解），指出所给数的一个真因子常用分解技术有：（1）利用代数式分解（如因式分解）指出其一个真因子；（2）应用数的分解（例如算术基本定理），指出数的一个真因子；（3）运用反证法，假定其是素数，然后利用素数的性质推出矛盾.三、例题

7、讲解例1.证明：无穷数列中没有素数.（教材第13页例1）证明：记，则对分奇偶讨论：（1）当为偶数时，设，则显然是大于1的整数，当时，是大于1的整数而当时，是合数.(2)当为奇数时，设，易知都是大于1的整数综上：命题获证；例2.证明：对任意整数，数不是素数.（教材第13页例2）证明：我们对分奇偶讨论：（1）当为偶数时，大于2，且也为偶数，故结论显然成立.（2）当为奇数时，设，则由于，所以都是大于1的整数，故是合数.综上：不是素数.例3.设正整数满足，证明：不是素数证明一：本题不宜采用代数式的分解来产生所需的分解.我们的第一种解是应用数

8、的分解，指出的一个真因子.由，可设，其中是互素的正整数.故，同理故是两个大于1的整数积，从而不是素数.证明二：由，得，因此，因是整数.若它是一个素数，设为，则由（*），故或，不妨设，则，结合（*）式得：，即，这不可能，故结论成立;例4