算术基本定理

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1、关于质和计算基本定理的问题一、知识大于1的整数总有两个不同的正约数:1和.若仅有两个正约数(称没有正因子),则称为质数(或素数).若有真因子,即可以表示为的形式(这里为大于1的整数),则称为合数.正整数被分为三类:数1,素数类,合数类关于素数的一些重要理论1.大于1的整数必有素约数.2.设为素数,为任意一个整数,则或者整除,或者与互素.事实上,与的最大公约数必整除,故由素数的定义推知,或者,或者,即或者与互素,或者.3.设为素数,为整数.若,则中至少有一个数被整除.事实上,若不整除,由性质2知,与均互素,从而与互素。这与已知的矛盾.

2、特别地:若素数整除,则4.定理1素数有无限多个(公元前欧几里得给出证明)证明:(反证法)假设只有k个素数,设它们是。记。(N不一定是素数)由第一节定理2可知,有素因数,我们要说明从而得出矛盾事实上,若有某个使得则由推出,这是不可能的。因此在之外又有一个素数,这与假设是矛盾的。所以素数不可能是有限个。5.引理1任何大于1的正整数可以写成素数之积,即(1)其中是素数。证明当时,结论显然成立。假设对于,式(1)成立,我们来证明式(1)对于也成立,从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数成立。如果是素数,式(1)显然成立。如果是合数,则存

3、在素数与整数,使得。由于,由归纳假定知存在素数,使得,从而。证毕。6.定理2(算术基本定理)任何大于1的整数可以唯一地表示成,(2)其中是素数,,是正整数。我们称是的标准分解式,其中是素数,,是正整数.证明:由引理1,任何大于1的整数可以表示成式(2)的形式,因此,证明表示式(2)的唯一性。假设与都是素数,,,(3)并且,(4)则由第三节定理4推论1,必有某个,使得,所以;又有某个,使得,所以。于是,由式(3)可知,从而由式(4)得到重复上述这一过程,得到证毕。7.定理:若设为的正约数的个数,为的正约数之和,则有(1)(2)8.推论

4、1使用式(2)中的记号,有(ⅰ)的正因(约)数d必有形式d=(ⅱ)的正倍数必有形式9.推论2设正整数a与b的标准分解式是,其中p1,p2,L,pk是互不相同的素数,ai,bi(1£i£k)都是非负整数,则10.推论3设a,b,c,n是正整数,ab=cn,(a,b)=1,(5)则存在正整数u,v,使得a=un,b=vn,c=uv,(u,v)=1。证明设c=,其中p1,p2,L,pk是互不相同的素数,gi(1£i£k)是正整数。又设,其中aI,bi(1£i£k)都是非负整数。由式(5)及推论2¢可知min{ai,bi}=0,ai+bi=

5、ngi,1£i£k,因此,对于每个i(1£i£k),等式ai=ngi,bi=0与ai=0,bi=ngi有且只有一个成立。这就证明了推论。证毕。11.定理:对任意的正整数及素数,记号表示,即是的标准分解中出现的的幂.设,为素数,,则这里表示不超过实数的最大整数.由于当时,则,故上面和式中只有有限多个项非零.另一种表现形式:设为任一素数,在中含的最高乘方次数记为,则有:证明:由于是素数,所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知,在中,有个的倍数,有个的倍数,有个的倍数,,当时,,所以命题成立。另证:对于任意固定

6、的素数,以表示在的标准分解式中的的指数,则以表示中等于的个数,那么(2)显然,就是在中满足½并且pj+1的整数的个数,所以由定理2有。将上式代入式(2),得到即式(1)成立。证毕。二、重要方法证明某些特殊形式的数不是素数(或给出其为素数的必要条件)是初等数论中较为基本的问题,其方法是应用各种分解技术(如代数式的分解),指出所给数的一个真因子常用分解技术有:(1)利用代数式分解(如因式分解)指出其一个真因子;(2)应用数的分解(例如算术基本定理),指出数的一个真因子;(3)运用反证法,假定其是素数,然后利用素数的性质推出矛盾.三、例题

7、讲解例1.证明:无穷数列中没有素数.(教材第13页例1)证明:记,则对分奇偶讨论:(1)当为偶数时,设,则显然是大于1的整数,当时,是大于1的整数而当时,是合数.(2)当为奇数时,设,易知都是大于1的整数综上:命题获证;例2.证明:对任意整数,数不是素数.(教材第13页例2)证明:我们对分奇偶讨论:(1)当为偶数时,大于2,且也为偶数,故结论显然成立.(2)当为奇数时,设,则由于,所以都是大于1的整数,故是合数.综上:不是素数.例3.设正整数满足,证明:不是素数证明一:本题不宜采用代数式的分解来产生所需的分解.我们的第一种解是应用数

8、的分解,指出的一个真因子.由,可设,其中是互素的正整数.故,同理故是两个大于1的整数积,从而不是素数.证明二:由,得,因此,因是整数.若它是一个素数,设为,则由(*),故或,不妨设,则,结合(*)式得:,即,这不可能,故结论成立;例4

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