平面向量题型归纳(教师版)

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1、实用标准文档平面向量中的两个定理1.向量的数乘运算：求实数λ与向量的积的运算，运算法则：(1)

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、；(2)当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ的与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0运算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；　λ(＋)＝λ＋λ2.共线向量定理向量(≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为

8、两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作＝，其中叫在x轴上的坐标，叫在y轴上的坐标．②设，则向量的坐标就是终点A的坐标，即若，则A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点)类型一、共线向量定理的应用【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】设两个非零向量与b不共线，(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k同向．文案大全实用标准文档【例2】如图，在△

9、ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝，＝(1)用，b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】见解析【解析】(1)延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝＋，则有＝＝(＋)，＝＝(＋)，＝＝，＝－＝(＋)－＝(b－2)，＝－＝－＝(b－2)．(2)证明：由(1)可知＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．类型二、平面向量基本定理的应用【例3】如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)A．e1与e1＋e2　　　B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2

10、D．e1＋3e2与6e2＋2e1【答案】D文案大全实用标准文档【解析】选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．【例4】如图，以向量＝，＝为邻边作▱OADB，＝，＝，用，表示，，.【答案】见解析平面向量的线性运算与坐标运算1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；文案大全实用标准文档三角形法则平行四边形法则(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

11、减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

12、λa

13、＝

14、λ

15、

16、a

17、；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；　λ(a＋b)＝λa＋λb2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

18、a

19、＝.[来源:学.科.网](2)向量坐标的求法：①若向量

20、的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

21、

22、＝.3．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.应用举例:类型一、平面向量的线性运算【例1】设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A．＝－＋B．＝－C．＝＋D．＝－文案大全实用标准文档【答案】A类型二、平面向量的坐标运算【例4】若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)A.a＋b　　　　　B．－a－bC.a＋bD.a－b【解析】设c＝xa＋yb，则

23、＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.【例5】已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)A．(2,0)　　　　B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)【解析】＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以即【答案】A平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．（2）两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔

24、a－b

25、＝

26、a＋b

27、.(3)求向量