数学悖论选讲之5当前危机

《数学悖论选讲之5当前危机》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三、当前危机：罗素悖论1.理发师悖论在某村理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，并且只给村里这样的人刮胡子。现在问：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则，因此它不应该给自己刮胡子；而如果他不给自己刮胡子，那么按照原则他就该为自己刮胡子。这是著名数学家罗素为了阐述自己发现的集合论的悖论（人称罗素悖论）而创造的一个通俗版本。2.罗素悖论其实罗素悖论本身也不难理解：我们所见到的集合，大部分都不属于其自身，也就是说不是他本身的元素（这里请分别元素和子集的概念）。例如｛１，２，３｝

2、不属于它自身；｛三角形｝也不是｛三角形｝的元素等等。但是也有一些属于其本身的集合。例如A={所有集合的集合}，则有（一种很奇怪的集合吧？）。下面考虑那些所有不属于自身的集合的全体组成的集合，设为S，则S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据集合元素的确定性（数学上称为排中律），一个元素要么属于某个集合，要么不属于。因此上述问题是有意义的，但是它的回答却陷入了两难。如果S属于S，根据S的定义（S包含所有不属于自身的集合），S就不属于S；反之，若S不属于S，同样根据定义，S就属于S。一言以蔽之：S属于S,当且

3、仅当S不属于S。2.信仰危机罗素发现这个悖论后极为沮丧：“每天早晨，我面对一张白纸坐在那儿，除了短暂的午餐，我一整天都盯着那张纸。常常在夜幕降临之际，仍是一片空白……似乎我整个余生都很可能就消耗在这张白纸上。让人更加烦恼的是，矛盾是平凡的。我的时间都花在这些似乎不值得认真考虑的事情上”另一位数学家弗雷格在接到罗素的信后惊愕之极，他在自己已处于付印中的《算数的基本规律》第二卷连忙加的补遗中，写下了他的伤心：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”还有一位数

4、学家戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一书的再版。后来大概看到这个悖论的解决遥遥无期，书还是出版了。罗素悖论相当简明。而且所涉及的也只是集合论中最基本的方面，以至于几乎没有什么可以辩驳的余地，这样就大大动摇了集合论的基础。由于集合论概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然引起对数学整个基本机构有效性的怀疑。所以，罗素悖论一经提出就在当时的数学界与逻辑学界引起了极大的震动。“绝对严密”“天衣无缝”的数学，有一次陷入了自相矛盾语句大裂缝的危机之中。原本已经平静的数学水面，因罗素

5、悖论这一巨石的投入，又激起了千重浪，令数学家们震惊之余有些惊慌失措，导致了所谓的“第三次数学危机”。并且直到今天，这一悖论并未得到圆满的解决。是否像阿基里斯追龟一样要等上两千多年呢？如果是那样的话，罗素先生在数学史上的位置就越来越重要了。同时也意味着，后来者每人都有很多机会成为数学名人堂的一员。同学们努力啊！4.再次回眸下面我们将看看罗素悖论引发的一系列的通俗版本。　图书管理员悖论：在古老的亚历山大图书馆里，勤劳的学者卡里玛楚斯正在埋头编制目录，他要把所有的目录分成两大类。第一类专收“自身列入的目录”。也就是说一本目录中也有本目录

6、自身的条目。比如《悖论书目》里面就有它本身的条目。第二类是“自身不列入的目录”，翻开一本这样的目录，找不到它自己的条目。比如《名画目录》这一本目录书中，就没有它自身的条目（因为它不是名画书）。在第二大类的目录编纂结束时，卡里玛楚斯忽然意识到一个大难题：这部由所有“自身不列入的目录”装订成的目录书，我们姑且把它叫做《“自身不列入的目录”的总目录》，它应该如何归类呢？如果不列入，根据他的分类，则应该属于第二类，应该列入它自身的条目；如果列入，根据他的分类，则因该属于第一类，就不应该列入它自身。所以：列入自身，当且仅当不列入自身。卡里玛

7、楚斯难倒了，于是他坐到书堆中间哭泣起来。这是瑞士数学家贡塞斯（1890-1975）提出的。理查德悖论：这是一位法国中学教师理查德于1905年发表的：自然数又各种不同的性质，比如有的数能被２整除（偶数），有的是素数，有的是完全平方数等等。现在将自然数的性质编号，并表示为：　　有的自然数n恰好具有性质，把这样的自然数成为“非理查德数”，否则称为“理查德数”。比如代表“能被２整除”，那么因为４符合性质，则４就是“非理查德数”而５不能被２整除，它就是“非理查德数”；这样，所有自然数就分成了“理查德数”和“非理查德数”两类。考虑理查德数本身

8、，它也是自然数的一种性质：“与对应的编号大代表的性质不相符的自然数”，我们可以把这个性质记为，现在问题是：自然数ｍ是否是理查德数？容易发现，这一数是“理查德数”当且仅当它不是。无论如何都是矛盾。贝瑞悖论：贝瑞是英国图书馆的馆员，他在1906年把自己