小波分析应用的新进展和发展趋势

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1、小波分析应用的新进展和发展趋势摘要：小波分析是傅立叶分析的继承和发展，它具有广泛的应用价值，文章介绍了小波分析产生的背景，发展历程及其在应用领域的现状，并从几个方面概述了在不同领域的应用，最后展望了小波分析理论进一步的发展趋势。关键词：小波变换；图像小波；重力学；盲小波；高维正交双向小波一、引言小波分析是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，最近十几年得到了飞速的发展，作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域⑴。从纯粹数学的角度看，它是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；它是泛

2、函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语咅处理以及众多非线性科学等领域,它被认为是继Fourier分析Z后的又一有效的时频分析方法，与Fourier变换、视窗Fourier变换相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号屮提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展⑵。本文主要介绍小波分析理论的发展历程，产生背景及其

3、在应用领域的现状，并从几个方面概述了在不同领域的应用，最后展望了小波分析研究的发展趋势。二、小波分析产生及其发展历程1910年AlfredHaar利用仲缩平移思想构造了第一个规范正交小波基，即Haar系。在1938年，Littlewood-Paley提出了按二进制频率成分分组的理论，这便成为多尺度分析的思想雏形⑶。70年代时Calderon表示定理和Hardy空间的原子分解及无条件基的大量研究为小波分析的诞生提供了理论上的准备。在这个时期，法国地球物理学家J.Morlet和A.Grossman第一次把“小波”用来分析地

4、震数据，并提出了小波分析的概念。真止的小波热潮开始于1986年，Y.Meyer构造了第一个真正的小波基⑷。在次之后，P.Lemarie和G.Battle也分别独立地构造具有指数衰减的光滑小波，其仲缩平移产生的函数系构成的标准止交基。后来,S.Mallat和Y.Meyer提出了多分辨分析理论，统一了在此之前提出的各种具体的小波构造方法。同时，S.Mallat述在多分辨分析的基础上，给出了离散小波的数值算法。从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。1993年，一份专门刊载小波理论和应用发展的国际刊物uApplied

5、andComputationalHarmonicAnalysis"在美国正式创刊，标志着小波分析理论研究进入到新的阶段。在前一阶段的基础上，尤其是S.Mallat塔式算法的简便可行，使小波分析迅速波及科学研究和工程技术应用的几乎所有领域.近些年来，由于算子代数理论和空间理论的许多有用工具被应用于小波理论，尤其是小波分析中的框架，从而获得许多重要结论⑸，也使得小波理论研究得到了更快速的发展。三、小波分析理论小波分析或小波变换(wavelettransform)是指用有限长或快速衰减的、称为母小波(motherwavele

6、t)的振荡波形来表示信号。该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。小波变换分成两个大类：离散小波变换(DWT)和连续小波转换(CWT)o两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。小波是函数空间U(R)中满足下述条件的一个函数或者信号Mx)这里，『二尺-{0}表示非零实数全体。有时，妙(X)也称为小波母函数，前述条件成为“容许性条件”。对于任意的实数对(“)，其中参数。必须为非零实数,称如下形式的函数为由小波母函数曲〉生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数，简称为小

7、波。所有小波变换可以视为时域频域表示的形式，所以和调和分析相关。所有实际有用的离散小波变换使用包含有限脉冲响应滤波器的滤波器段(filterbank)。构成CWT的小波受海森堡的测不准原理制约⑹。四、小波分析不同领域应用现状小波分析的应用领域相当广泛：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理;量子力学、理论物理；军事电子对抗与武辭的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；下面简要介绍几种小波分析的应用。1、图像小波变换系统⑺小波变换的基木思想是通过一个小

8、波函数在时间上的平移和在尺度上的伸缩得到一个小波基，然后利用小波基去表示或逼近信号或函数，获得一种能自动适应各种频变成分的有效信号分析手段。小波变换弥补了傅立叶变换不能描述随时间变化的频率特性的不足，特别适合于那些在不同时间窗内，具有不同频率特性，而且其应用目的是为了得到信号或图像的局部频谱信息而非整体信息的信号或图像处理问题。由