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1、高等数学第六版(上册)总复习习题答案及解析1.填空:设常数&＞0,函数f(x)=x~+k在(0,+8)内零点的个数为e解应填写2.提示：,广©)=—XeX在(0,+8)内，令「30,得唯一驻点Xe.因为所以曲线f{x)=x-—+k在(0,+oo)内是凸的，且驻点/e—定是e最大值点，最大值为f(e)A＞0.又因为lim/(x)=Y),lim/(x)=-oo,所以曲线经过x轴两次，即零点的个数为2.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：设在［0,1］上f〃(力＞0,则「(0),「⑴,f⑴f(0)或f(0)f(l)几个数的大小顺序为().(J)ff(D
2、＞f'(o)＞A1)Ao)；(Qf'⑴＞f(i)AO)＞f'(o)；(OADAo)＞八⑴＞厂(o)；(〃)f，⑴＞f(o)AD＞f，⑹.解选择〃.提示：因为f〃(方＞0,所以「3在［0,1］上单调增加,从而「(1)＞「3＞「(0)・又由拉格朗日中值定理，有f(l)AO)f'(),e［o,1］,所以「(i)＞Al)f(o)＞「(o).3.列举一个函数fd)满足：f(x)在［自b］a方)内除某一点外处处(a方)内不存在点gf(方)f3「(◎(方臼).解取f(x)Ix,atg［1,1］.易知fd)在［1,1］上连续，且当Q0时「匕)1；当乂＞0时，丨31;f'(0)不存
3、在，即代劝在［1,1］上除x0外处处可导.注意f(l)f(1)0,所以要使f(l)f(1)「()(1(1))成立，即厂()0,是不可能的.因此在(1,1)内不存在点§f(i)A1)/、'()(1(D).4.设limff(x)=k,求lim［/(x+a)-/(x)］.介于x+a与/之间.X-KCA-KO解根据拉格朗日中值公式，flxZ—fgf'l)•岔当/Too时，T8,于是lim[/(x+«)-/(x)]=lim广(G・a=alimf^)=ak.XTCO"TOO5.证明多项式f(力/3%日在［0,1］上不可能有两个零点.证明f)=3＜-3=3(,-1),因为当ag
4、(0,1)时，fJ)〈0,所以f(a)在［0,1］上单调减少.因此，f3在［0,1］上至多有一个零点.6•设。。+牛…+岛0.证明多项式…妣+・•3在(。，1)内至少有一个零点.证明设鱼/+...+仏対+】，则厂(劝在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且2比+1F(0)=A(l)=0.由罗尔定理，在(0,1)内至少有一个点，使川)=0.而F3=f®,所以fx)在(0,1)内至少有一个零点.7.设丁匕)在［0,日］上连续，在(0,$)内可导，且f(曰)0,证明存在一点g(0,
5、,a)内可导，且MO)=A(c?)=0.由罗尔定理，在(0,a)内至少有一个点，使尸()=0.而F{x)=tx)+xf'(x),所以f()厂()0.&设0"<方，函数f(x)在田b($方)矢@方)使f(a)-f(b)=^)ln~.a证明对于fCv)和InX在［日，方］上用柯西中值定理，有In/,-In.，G&®，I即f(a)-f(b)=^)-,e(a,6).a9.设、gCr)都是可导函数，且丨丁证明：当恥时，*3f(&)I6、「(方
7、<03得知，牟°
8、<1,且有0(/)>0,£匕)是单调增加的，当x>a时，g(x)>g(&)・因为
9、f(方、g(X)都是可导函数，所以f(X)、g(方在［日，灯上连续，在(日，0内可导，根据柯西中值定理，至少存在一点劝，使/°)-/(叽牟
10、1.g(x)—g⑷g(歹)因此，l/(x)-/(6/)
11、j£g2
12、<1>(劝f(日)&3g@).g(x)-g⑷lg(§)
13、10.求下列极限：(1)lim~-—；大ti1-x+lnx⑵lim[—i—-1]；xtoln(l+x)x(3)lim(—arctanx)x-wJl1i_⑷lim
14、_(dr+恋+・・・+Q;；)/n严(其中&az•…，&”>0)x—>oo解(1)(Inx+l)=/(lnx+1).（兀一小-xr-yvlim=
15、lim=limxti1-x+lnx大->】(1-x+lnx)1x->il-x(lnx+1)-牙一牙(lnx+1)=lim-.1XTl-1+-X=limx->01-丄1+xlnfl+x)+—1+x因为l-xA+1(lnjc+1•—)(lnx+1)—兀'=lim=2•n-1⑵叭一-Slim』巴Llim〔Zn(l+训xtoln(l+x)xx->oxln(l+x)-v->o
16、xln(l+兀)]'=lim=lim!=—v->o(l+x)ln(l+x)+xxT01n(l+x)+l+l222A(lnarctafu+ln—)lim(—arctanx)x=lime兀X->+30兀
