吉大随机数学

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1、分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：第四章随机变量的数字特征随机数学1考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机数学2

2、随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离均值的情况——方差描述两随机变量间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写随机数学3§1随机变量的数学期望加权平均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙9085532287688805722575胜者甲甲乙甲甲3:3:42:3:52:2:673.770.066.873.270.167.8甲乙乙引例学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负§4.1称为这3个数字的加权平均随机数学4设X为离散型随机变量其概率分布为若无穷级数数学期望

3、记作E(X)，即数学期望的定义定义绝对收敛,则称其和为X的数学期望的概念源于此随机数学5设连续随机变量X的概率密度为若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望,记作E(X),即数学期望的本质——加权平均,它是一个数不再是随机变量定义随机数学6例1X~B(n,p),求E(X).解特例若Y~B(1,p),则E(Y)例1随机数学7例2设X~参数为p的几何分布，求E(X).解随机数学8例3设X～,求E(X)解～随机数学9例4设随机变量X在[a,b]服从均匀分布,求E(X)解因为概率密度随机数学10例5设随机变

4、量X服从参数为(>0)的指数分布,求E(X)解X的概率密度随机数学11例6X~N(,2),求E(X).解随机数学12例7箱内装有5个电子元件,其中有两件次品.现在,每次从箱中随机地取出一件进行检验,直到查出全部次品为止,求所需检验次数的数学期望.解设X为所需检验次数,X的取值为:2,3,4,5.若记表示“第i次取出正品”(i=1,2,3,4,5)随机数学13随机数学14于是随机数学15常见随机变量的数学期望分布数学期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)随机数学16分布期望概率密度区间(

5、a,b)上的均匀分布N(,2)参数为λ的指数分布随机数学17注意不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!随机数学18设离散随机变量X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则设连续型随机变量X的概率密度为f(x)绝对收敛,则若广义积分随机变量的函数Y=g(X)的数学期望随机数学19设离散型随机变量(X,Y)的概率分布为随机变量Z=g(X,Y),绝对收敛,则若级数随机数学20设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，Z=g(X,Y),绝对收敛

6、,则若广义积分随机数学21例8设随机变量X的概率分布为求随机变量Y=数学期望。解随机数学22例9已知随机变量X~N(0,1),求随机变量的数学期望.解:因为所以随机数学23例10设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求E(X)和E(XY).解随机数学24随机数学25例1.12设X在区间(0,a)上服从均匀分布，求的数学期望.解X的密度为则例1.13设X的概率密度为，求,解随机数学26例1.14设(X,Y)的联合密度为求E(X)、E(XY)．解随机数学27例10设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的数

7、学期望.解例3随机数学28随机数学29解(1)设整机寿命为N,五个独立元件,寿命分别为若将它们（1）串联(2)并联成整机，求整机寿命的均值.例11例4都服从指数分布，密度为随机数学30即~随机数学31(2)设整机寿命为随机数学32随机数学33可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长10倍之多.随机数学34例12设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max(X,Y)).解D1D2例5随机数学35D1D2随机数学36一般地，若X,Y相互独立，则随机数学37一般地，若X,Y

8、相互独立，则所以随机数学38（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)（4）当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).*(5)若存在数a使P(Xa)=1,则E(X)a；若存在数b使P(Xb)=1,则E(X)b.数学期望的性质常数1.3随机数学39性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立注通常情况下随机数学40当X和Y相互独立时随机数学41例13对于两个随机