管理运筹学第10章动态规划

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1、第十章动态规划§1多阶段决策过程最优化问题举例§2基本概念、基本方程与最优化原理§3动态规划的应用(1)§4动态规划的应用(2)1§1多阶段决策过程最优化问题举例例1最短路径问题下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最短路径。BACBDBCDEC4123123123221647248386756110637512§1多阶段决策过程最优化问题举例用穷举法的计算量:从A到E的路径有4×3×2=24条，计算每条路径的总长度需要做4次加法，则计算各路径长度总共要进行24×4=96次加法，做23次比较，才能得出结果。3§1多阶段决策过

2、程最优化问题举例讨论：1、以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相同，但规模较小的子问题，即分别从Di、Ci、Bi、A到E的最短路径问题。第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；阶段4本阶段始点（状态）本阶段各终点（决策）到E的最短距离本阶段最优终点（最优决策)ED1D210*6106EE分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。4第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2的最短路径问题：§1多阶段决策过程最优化问题举例阶段3本阶段始点（状态）本

3、阶段各终点（决策）到E的最短距离本阶段最优终点（最优决策)D1D2C1C2C38+10=187+10=171+10=116+6=125+6=116+6=12121111D2D2D1分析得知：如果经过C1，则最短路为C1-D2-E；如果经过C2，则最短路为C2-D2-E；如果经过C3，则最短路为C3-D1-E。5第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3的最短路径问题：§1多阶段决策过程最优化问题举例阶段2本阶段始点（状态）本阶段各终点（决策

4、）到E的最短距离本阶段最优终点（最优决策)C1C2C3B1B2B3B42+12=144+12=164+12=167+12=191+11=127+11=188+11=195+11=166+11=172+11=133+11=141+11=1212131412C2C3C3C3分析得知：如果经过B1，则走B1-C2-D2-E；如果经过B2，则走B2-C3-D1-E；如果经过B3，则走B3-C3-D1-E；如果经过B4，则走B4-C3-D1-E。6第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4。对始点和终点进行分析和讨论分别求A到B1,B

5、2,B3,B4的最短路径问题：§1多阶段决策过程最优化问题举例阶段1本阶段始点(状态)本阶段各终点（决策）到E的最短距离本阶段最优终点(最优决策)B1B2B3B4A4+12=163+13=163+14=172+12=1414B4最后，可以得到：从A到E的最短路径为AB4C3D1E7以上计算过程及结果，可用图2表示，可以看到，以上方法不仅得到了从A到D的最短路径，同时，也得到了从图中任一点到E的最短路径。BACBDBCDEC41231231233216472483867516106010612111112131414127512§

6、1多阶段决策过程最优化问题举例以上过程，仅用了22次加法，计算效率远高于穷举法。8一、基本概念：1、阶段k：表示决策顺序的离散的量，阶段可以按时间或空间划分。2、状态sk：能确定地表示决策过程当前特征的量。状态可以是数量，也可以是字符，数量状态可以是连续的，也可以是离散的。3、决策xk：从某一状态向下一状态过渡时所做的选择。决策是所在状态的函数，记为xk(sk)。决策允许集合Dk(sk)：在状态sk下，允许采取决策的全体。4、策略Pk,n(sk)：从第k阶段开始到最后第n阶段的决策序列，称k子策略。P1,n(s1)即为全过程策略。5、状

7、态转移方程sk+1=Tk(sk,xk)：某一状态以及该状态下的决策，与下一状态之间的函数关系。§2基本概念、基本方程与最优化原理96、阶段指标函数rk(sk,xk)：从状态sk出发，选择决策xk所产生的第k阶段指标。过程指标函数Vk,n(sk,xk,xk+1,…,xn)：从状态sk出发，选择决策xk,xk+1,…,xn所产生的过程指标。动态规划要求过程指标具有可分离性，即Vk,n(sk,xk,xk+1,…,xn)=rk(sk,xk)+Vk+1,n(sk+1,xk+1,…,xn)称指标具有可加性，或Vk,n(sk,xk,xk+1,…,xn

8、)=rk(sk,xk)×Vk+1,n(sk+1,xk+1,…,xn)称指标具有可乘性。二、基本方程：最优指标函数fk(sk)：从状态sk出发，对所有的策略Pk,n，过程指标Vk,n的最优值，即§2基本概念、