(第1部分)微分方程(简单模型)

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1、微分方程简单模型重庆邮电大学数理学院在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。例（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式

2、。从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，根据牛顿第二定律可得：从而得出两阶微分方程：（3.1）这是理想单摆应满足的运动方程（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：（3.2）由此即可得出（3.2）的解为:θ(t)=θ0cosωt其中当时,θ(t)=0故有MQPmg图3-1（3.1）的近似方程例求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.解:设所求的曲线方程为由导数的几何意义,应有即又由条件:曲线过(1,3),即于是得

3、故所求的曲线方程为:导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？（解析法）由(1),(2)消去t,整理得模型:马尔萨斯（Malthus）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），因而提出了著名的人口指数增长模型。分析与建模：人口的净增长率是一个常数，也就是

4、单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。设t时刻人口数为N(t)，t=t0时，N(t0)=N0，则这个方程的解为：马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：故即Malthus模型模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6（即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模

5、型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象

6、。所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：（1）r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）此时得到微分方程：或（2）（2）被称为Logistic模型或生

7、物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。（2）可改写成：（3）(3)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3）指出，种群增长率与两者的

8、乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3）也被称为统计筹算律的原因。对（3）分离变量：两边积分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3）的满足初始条件N(0)=N0的解为：（4）易见：N(0)=N0，N(t)的图形请看右图模型检验用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945年克朗比克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Ga