结构优化设计 3.一维搜索方法

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1、第三章一维搜索方法概述搜索区间的确定一维搜索的试探方法黄金分割法一维搜索的插值方法牛顿法(切线法)二次插值法2概述直接搜索法更适合于工程实践对于单个变量（一维问题）的直接搜索，通常称为一维搜索或线性搜索多维问题转化为一维问题求解3多维和一维间的转换多维目标函数的极值问题，通常采用数值迭代的方法求解每一步的格式都是从某一定点xk出发沿着某一使函数值下降的规定方向dk，找出在此方向的极值点xk+1。在任何一次迭代计算过程中，当起步点和方向确定之后，就把求多维问题的目标函数的极小值这个多维问题，转变成求一个变量即步长ak的最优值的一维问题沿着规定方向求ak

2、的最优值以使f(xk+akdk)得到极小值的过程，就是一维搜索或一维最优化问题，而ak则称为一维搜索的最优化步长多维问题就转换为一系列的一维搜索问题4一维搜索方法第一是初始点的x0选取，x0应尽量选择靠近极值点，这样就能较快找到极值点第二是搜索方向的dk确定。从xk出发沿什么方向很快找到f(x)的极小点？以不同的原则选取dk就构成了优化方法中各种不同的方法第三在确定了搜索方向dk后，关键的问题是如何进行沿dk方向的一维搜索5一维搜索方法采用数值解法代替解析解法第一步是确定搜索区间，即最优步长ak所在的区间[a,b]，搜索区间应为单峰区间，区间内目标函

3、数应只有一个极小值第二步是在此区间内求最优步长ak，使目标函数f(xk+ak)达到极小，即通过某种原理不断缩小搜索区间，从而获得最优步长a*的数值近似解。6确定初始搜索区间的进退算法前进计算后退计算—试探后作前进或后退计算。一）基本思路7h=h0y1=f(x1)、x2=x1+h、y2=f(x2)给定x1、h0y1≥y2y2≥y3是h=2hx3=x2+h、y3=f(x3)结束否h=-hx3=x1y3=y1a=x1、b=x3是x1=x2y1=y2x2=x3y2=y3是a=x3、b=x1否h>0否二)迭代步骤初始进退距前进计算后退计算8khx1y1x2y2

4、x3y310.10.2090.18.2030.36.68120.40.18.2030.36.6810.74.42930.80.36.6810.74.4291.57.1259khx1y1x2y2x3y310.1-0.21.812.0961.914.3771.914.3771.812.0961.68.4882-0.41.812.0961.68.4881.24.5843-0.81.68.4881.24.5840.45.99210进退法的计算机程序框图t0,ht1=t0;t2=t0+hf1=f(t1);f2=f(t2)f2

5、=f2;f2=f(t2)h=-h/4是否f2

6、的一维搜索试探方法，又称作0.618法适用于区间上的任何单谷函数求极小值问题对函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续基本思路：在搜索区间内适当插入两点，并计算其函数值。将区间分成三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。13黄金分割法黄金分割法要求插入点1、2的位置相对于原区间[a,b]的两端点具有对称性，即黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同

7、的比例分布14黄金分割法的搜索过程⑴给出初始搜索区间[a,b]及收敛精度，将赋以0.618⑵按前页中坐标点比例公式计算1和2，并计算其对应的函数值f(1)和f(2)。⑶比较函数值，利用进退法缩短搜索区间⑷检查区间是否缩短到足够小和函数值是否收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤⑵⑸如果条件满足则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似值15黄金分割法程序框图给定a,b,＝0.618a1=b-(b-a);y1=f(a1);a2=a+(b-a);y2=f(a2);y1≥y2a=a1;a1=a2;y1=y2;a2=a+(b-a)

8、;y2=f(a2)b=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-(b-a);y1=f(a1)a*=(a+b)