线性代数第二节 向量组的线性相关性

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1、§2向量组的线性相关性一、线性组合的概念二、向量组的线性相关性三、小结1向量组:m个n维向量.四维以上无直观几何意义.两个向量之间最简单的关系是成比例.线性表示.一、线性组合的概念2一般地,就有定义6.对于n维向量若3例1.任一n维向量都可由向量组线性表示.解:4所以任一n维向量线性表示.称为n维单位向量组.例2.解:显然换句话说,存在一组不全为0的数0,3,-1,使5例3.解:6(改写):变形例4.若其中任一个均不能由其余向量线性表示.78定义7.若存在否则称为线性无关,即只有当二、向量组的线性相关性9理解:共性.特性:有不全为零的数0,1,2

2、,-1,使向量组合为零向量.10例5.n维单位向量组是线性无关的.解:11例6.判断向量组是否线性相关?解:12其系数行列式于是有13例7.讨论向量组的线性相关性,若线性相关,试写出其中一向量能由其余向量线性表示的表达式.解:14代入(2)、(3),有于是有15说明:此例是一个三元的,三个未知数的方程组.只须看行列式是否为0.16［注］:设n个n维向量所组成的向量为且则..17例8.证明:则由定义知18而其系数行列式证毕.19定理一.A线性相关A中至少有一个可由其余向量线性表示.A中至少有一个可由其余向量线性表示.证明:“”∴A线性相关.“”20

3、即有不全为零的数则证毕.性质1.任意一个包含零向量的向量组必线性相关.证明:21证毕.性质2.两个向量线性相关它们的各对应分量成比例.证明:“”22“”证毕.23性质3.部分组相关,则全组相关.证明:证毕.24［注］:部分组线性相关整个向量组线性相关.性质4.整个向量组线性无关部分组线性无关.证明:反证.若部分组线性相关,则由性质3知,整个组也线性相关.矛盾！证毕.25性质５．26定理二.证明:∴有不全为零的数27证毕.28例9.判别下列各向量组的线性相关性:解:由性质1知,解:又由性质3可知,29例10.判断向量组解:由性质3可知,30定理三.

4、也线性无关.证明:反证.即有不全为零的数即31从前r个等式可得矛盾!证毕.32推论:在r维向量组的每个向量上添加n-r个分量,使之成为n维向量组.如果r维向量组线性无关,则n维向量组也线性无关.［注］:定理三表明:添加分量后仍线性无关.添加分量后线性相关原向量组线性相关.定理四.任意n+1个n维向量都是线性相关的.原向量组线性无关证明:33构造向量组：设n+1个n维向量为:34定理四表明:当m=n+1时,当m>n时,相关(由定理四)则相关[注]:35推论:简言之:个数大于维数的向量组是线性相关的.事实上,36（一）.概念.三、小结37例.单位坐标

5、向量A线性相关38（二）.充要条件(1).若n个n维向量行列式为则39(2).向量组A线性相关A中至少有一个向量可由其余向量线性表示.（三）.判断法(1).40(2).部分组线性相关整个向量组线性相关.整个向量组线性无关部分组线性无关.(3).原向量组线性无关添加分量后仍线性无关.添加分量后线性相关原向量组线性相关.41思考题42