2.1 The real number line

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1、一、方向导数二、梯度三、物理意义方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且

2、有在点P可微,得故对于二元函数为,)的方向导数为向角由定义看出，方向导数实际上是函数沿某一方向的单侧的增量比的极限。记为由定义看出，方向导数实际上是函数沿某一方向的单侧的增量比的极限。例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最

3、大变化率之值方向导数取最大值：1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量同理f方向导数的最小值在梯度的反方向达到，或者说，沿梯度的相反方向函数值减少最快。解由梯度计算公式得故称为函数f的等值线.则L*上点P处同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为处的法向量为2.梯度的几何意义3.梯度的基本运算公式指向函数增大的方向.函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向

4、l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l上的投影.思考题思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.2.求函数在椭圆上点处沿外法线方向的方向导数。曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量2.