化工系统工程 第五章联立方程法

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1、第五章联立方程法要点：1）联立方程法与序贯模块法的比较。2）求解大型非线性方程组时分隔、切断的对象分别是什么？3）基本选代法与消去法求解非线性方程组的比较。4）随机填充存储法用于稀疏矩阵运算的优点。5）迭代改进法的思路。6）如何兼顾解的精度与稀疏性的保持。7/22/20211第五章联立方程法第五章联立方程法序贯模块法是将系统所有方程分解成小方程组求解，问题迭代嵌套层数多。联立方程法的基本思想是将描述过程系统的所有方程全部联立起来，数学上为庞大的非线性方程组，其变量包含所有的内部变量和外部变量。稳态模拟的求

2、解就可视为一个原则上与过程系统结构无关，甚至与化工背景无关的纯数学问题。只要解决这样的大型非线性方程组求解算法，便能进行过程系统的稳态模拟。7/22/20212第五章联立方程法1、2过程系统数学模型的特点及建立特点高维大型非线性方程组方程组性质的复杂性方程组的稀疏性变量初值设定的困难性建立单元操作的数学模型方程组系统单元间关系连接流方程组7/22/20213第五章联立方程法3联立方程组中微分方程的处理直接求解含有部分微分方程的联立方程组有困难。解决的办法：1）将含有微分方程的方程块，包括边界条件（代数形式

3、的或微分形式的）分隔独立出来，用数值积分的方法求解。2）将微分方程，包括导数形式的边界条件，改写成差分方程，或直接从严格微分模型开发近似代数模型。这类替代微分模型的近似代数方程组都必须在迭代收敛过程中随时更新其方程参数，以保持各迭代点附近近似模型与严格模型的等效性。7/22/20214第五章联立方程法4初值的选取及变量物理意义的限制迭代开始初值难给的原因有：1）变量维数大；2）迭代收敛稳定性对初值要求苛刻。一般采用自动产生初值的算法：其一是利用严格模型在基点附近产生一组简化模型，然后用序贯模块法计算一套初

4、值；其二是通过线性化产生一组近似线性模型，然后通过联立求解线性方程组得到初值。此外，也可以直接用严格模型按序贯模块法直接送代数次取得初值后，再转入用求解联立方程组的办法来解决初值选取的困难。为了避免变量在迭代过程中失去物理意义或超出函数计算定义域引起的计算失败，增补必需等式约束或不等式约束对变量取值加以适当的限制——约束方程。7/22/20215第五章联立方程法5过程系统非线性方程组的降阶建立独立的物性估算模块取消连接流方程——减少流股变量方程组的分隔不可再分子方程块的切断7/22/20216第五章联立方

5、程法方程组的分隔将方程组表示为布尔矩阵，行为函数，列为变量。每行上仅圈一个变量为输出变量，每个变量仅被圈出一次，并且任何一列没有一个以上的变量被圈过。用有向信息流图来表示方程间的关系。用树搜索法搜索环路。用组合结点简化有向信息流图。判别图中有无入度为零的结点。继续简化判断。7/22/20217第五章联立方程法不可再分子方程块的切断将方程组表示为关联矩阵。在关联矩阵中圈出行中非零元素最少的某一变量为切断变量。删除切断变量所在列和该列非零元素所在行中其他非零元素所在列的变量及方程，得到简化关联矩阵。若某行仅一

6、个非零元素，则该非零元素所在行方程可单独求解，得该非零元素所在列的变量，删除该非零元素所在的行和列得简化关联矩阵。同理重复上述步骤，直到关联矩阵为零列。按删除顺序可计算得各变量，最终计算得切断变量，并与初值比较，是否一致，作为修正切断变量假设值的依据。重复以上过程，直至满足收敛要求。7/22/20218第五章联立方程法6非线性方程组迭代解法线性化的方法n维非线性方程组F(X)＝0，将F(X)作一阶展开可得到Newton型的迭代公式非线性方程化为F(X)≈AX+B＝0，则XL=-A-1B，令J(i)=A(i

7、)，则可见非线性方程组可化为线性方程处理7/22/20219第五章联立方程法6非线性方程组迭代解法基本迭代法同时修正法——Jacobi法逐次修正法一Gauss－Seidel法逐次超松弛法一SOR法迭代收敛判据的选择7/22/202110第五章联立方程法8联立方程法的潜在优势以空间及应用数学的技术换取时间。联立方程法较序贯模块法需要占用大得多的存储及运算空间，采用更为复杂、精巧的数值运算方法以及编程技巧，但前者可以解决一些序贯模块法难于收敛甚至根本不能收敛的系统模拟问题。联立方程法中各方程的地位相对平等，对

8、于流程修改、系统结构改变的适应性较强。自动初始化设定初值算法逐步完善，使联立方程法成为可行。联立方程法中方程中变量地位相对平等，这样对于不同的模拟要求——求解模拟问题、设计型问题，只需改变决策变量的选择。选择适当决策变量，使方程组降解，容易求解。7/22/202111第五章联立方程法