勤学好问必有所获

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1、勤学好问必有所获第八章随机变量（向量）的数字特征概率论回归分析的基本概念一元回归模型的建立与检验一元回归模型的的预测在现实问题中，处于同一个过程中的一些变量，往往是相互依赖和相互制约的，它们之间的相互关系大致可分为两种：相关关系问题（1）确定性关系——函数关系；（2）非确定性关系——相关关系；相关关系表现为这些变量之间有一定的依赖关，但这种关系并不完全确定，它们之间的关系不能精确地用函数表示出来，这些变量其实是随机变量，或至少有一个是随机变量。类似的变量间的关系在大自然和社会中屡见不鲜.例如,小麦的穗长与穗重的关系;某班学生最后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温度、降雨量

2、与农作物产量间的关系;人的年龄与血压的关系;最大积雪深度与灌溉面积间的关系;家庭收入与支出的关系等等.函数关系与相关关系的区别相关关系——影响的值，不能确定。函数关系——决定的值，因此，统计学上讨论两变量的相关关系时，是设法确定：在给定自变量的条件下，因变量的条件数学期望回归分析的概念研究一个随机变量与一个（或几个）可控变量之间的相关关系的统计方法称为回归分析。只有一个自变量的回归分析称为一元回归分析；多于一个自变量的回归分析称为多元回归分析。引进回归函数称为回归方程回归方程反映了因变量随自变量的变化而变化的平均变化情况.在这一讲里,我们主要讨论的是一元线性回归.它是处理两个

3、变量之间关系的最简单的模型.它虽然比较简单,但我们从中可以了解到回归分析的基本思想、方法和应用.一元线性回归一元线性回归一元线性回归为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观测站,测量了最大积雪深度x与当年灌溉面积y,得到连续10年的数据如下表:让我们用一个例子来说明如何建立一元线性回归方程.年序最大积雪深度x(米)灌溉面积y(公顷)15.1190723.5128737.1269346.2237358.8326067.8300074.5194785.6227398.03113106.42493为了研究这些数据中所蕴含的规律性,我们由10对数据作出散点图.从图看

4、到,数据点大致落在一条直线附近,这告诉我们变量x和y之间大致可看作线性关系.yxo4000300020001000246810···········从图中还看到,这些点又不完全在一条直线上,这表明x和y的关系并没有确切到给定x就可以唯一确定y的程度.事实上,还有许多其它因素对y产生影响,如当年的平均气温、当年的降雨量等等,都是影响y取什么值的随机因素.一元线性回归模型如果试验的散点图中各点呈直线状，则假设这批数据的数学模型为设随机变量Y依赖于自变量x，作n次独立试验，得n对观测值：称这n对观测值为容量为n的一个子样，若把这n对观测值在平面直角坐标系中描点，得到试验的散点图.其

5、中，且相互独立，则其中同服从于正态分布相互独立，因此图8-1其中是与无关的未知常数。（9.1）一元线性回归模型一般地，称如下数学模型为一元线性模型而称为回归函数或回归方程。称为回归系数。回归函数（方程）的建立由观测值确定的回归函数，应使得较小。考虑函数问题：确定，使得取得极小值。这是一个二元函数的无条件极值问题。回归方程的建立令回归方程的建立记表示对的估计值则变量对的回归方程为最小二乘法回归方程有效性的检验对于任何一组数据，都可按最小二乘法确定一个线性函数，但变量与之间是否真有近似于线性函数的相关关系呢？尚需进行假设检验。假设如果成立，则不能认为与有线性相关关系。三种检验方法

6、：F检验法、t-检验法、r检验法。回归方程有效性的F检验法记——总离差平方和，反映观测值与平均值的偏差程度。经恒等变形，将分解——回归平方和，反映回归值与平均值的偏差，揭示变量与的线性关系所引起的数据波动。——剩余平方和，反映观测值与回归值的偏差，揭示试验误差和非线性关系对试验结果所引起的数据波动。如果为真，则于是，统计量对给定的检验水平，（1）当时，拒绝，即可认为变量与有线性相关关系；（2）当时，接受，即可认为变量与没有线性相关关系；（2）当时，接受，即可认为变量与没有线性相关关系；此时，可能有以下几种情况：（2）对有显著影响，但这种影响不能用线性关系表示，应作非线性回归；

7、（3）除之外，还有其它变量对也有显著影响，从而削弱了对的影响，应考虑多元回归。（1）对没有显著影响，应丢弃自变量；回归方程有效性的r检验法记——样本的相关系数可反映变量与之间的线性相关程度。因为回归方程有效性的r检验法记——样本的相关系数越大，变量与之间的线性相关程度越强。因为（1）（2）时，（3）时，与有线性相关关系；与无线性相关关系；计算对给定的检验水平，查相关系数的临界值表如果，则拒绝，即线性回归方程有效；否则，接受，即线性回归方程无效。F检验与r检验是一致的：回归方程有效性的t检验法统计量H0成