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1、§1线性多目标规划模型1・实例产品1T润每所学的每加仑所需化学品3的磅数所需花生輕的磅数青春箱80441指甲上光油100520H供应就80486^4-1TM公司是一家较小的生产化妆品的企业.从前仅生产一种指甲上光油。然而有一次，一个雇员偶然把一罐花生酱倒入上光油中，结果发现这种混合物能够暂时去除脸部的皱纹。这样，公司就开始生产两种产品：指甲修饰用的上光油和使人年青的皱纹去除霜。改进后的产品配方需要两种不同的新的基本化学物列于表4・1（这两种化学物的名称公司保密九两种化学物的日用量（磅）是限定的，因为只仃一个地方供应，且其
2、生产能力已达最大。由于这个原因.因此.尽管花生酱的供应虽是充余的.但公司每夭只需购买6磅.以保守产品的配方秘密。经与公司经理交谈，确定卞列儿点:1）A.3两种化学品的日用址无论如何不能超过规定，即这些限制是硕约束。余卜的目标公司按偏爱顺序用：2）希望每天利润超过$800：3）每天订购的花生酱保持在6磅水平。（这样就可以装扮成是为公司負堂进货）4）每夭两种产品生产的加仑总数应尽可能少以便节省装运和人力费用。2.术语与赫念理想目标（Objective）理想口标是反映决策者欲望的一个比较笼统的提法.譬如：“利润垠大”.“临时工
3、人的人数虽少”.“消除贫用”等等。期望值（AspirationLevel）期望值是达到理想11标的满意的或可接受的一个特定值，它可以用来度虽理想U标达到的程度。现实目标（Goal）配上期望值的理想日标称之为现实目标。例如，希望至少获得灭单.位的利润，或减少y%的通货膨胀率。目标偽差（GoalDeviation）愿望与实际结果之间的差距就称为目标偏差。除了特殊情况外.一般问题（除非期望值不切实际地定得过低）都需计算其□标偏差。这个偏差既有正的差异.也有负差异（即正.负偏差变址人3.现实目标表达式假定目标函数用记号/心）表示
4、，在此假设/（x）为线性目标函数.并规定：/（X）—作为决策变呈.*=（坷宀，…,X」的函数的第i个目标函数的数学表达式:h.一对应于第i个理想目标的期望值。倚三种现实目标函数表达方式：I）fiWi・即希MZ（x）的值小于或等于®;2）/（x）>h{,即希望（工）的值大于或等F6-：3）£（"=»即希望/（x）的值严格等于％。不管是哪种目标表达式.都应加上一个负偏差变fi（；7,->0）,并减去一个正偏差变址:A>0）・使它们转换成目标规划的格式。表4・2归纳了这种转换过程。衣42目标类型目标现划格式需要极小化的<8差变
5、fit无⑴£hi/(x)+u-p=qPi爪门+屯_Pi=bj£(X)=$/(x)+U-Q=qHi+Pi对表4・2的说明：1）原现实口标关系式（即<>>，=）与偏差变址之间的关系①要满足ft（x）・必须使负偏差变呈仏取极小：③要满足.必须使正、负偏差变呈之和久+门取极小。2）当每个U标和约束都按表4-2转换后，将建立能反映和衡虽各种解的□标达成程度关系式。这种关系式或两数称为“达成函数”。3）为了满足忖标（或约束）•要求有关偏差变呈取极小.在达成函数中应该反映这种要求。2
6、.达成函数一对解的评价评价解的好坏取决于人们对H标达成程度的度虽.1）儿种度虽和评价目标达成程度的方法：①使加权的目标偏差之和达到极小；②使I」标偏差的多项式（或其它非线性表达式）达到极小；③使最大（最坏）目标偏差达到极小；④字典序最小化一组有序（即等级或优先序）目标偏差变呈的函数：©上万运旳卷种组旨。2）本章采用的方法将①〜④的衡呈特征组合起来构成可用来评价方案好坏的达成曲数，即借助对何序的一组目标偏差函数字典序极小化來度呈达到目标的程度.①在某一特定优先级中，对每个U标加权。幣个达成两数或达成向量可写成如卜形式:4一
7、寻求字典序极小化达成向址：人一序号或优先级别.s=gM，Q)・&=12…，K；&(〃，。)一按优先顺序斤极小化的现实日标或约束偏差变量的线性函数，规定①(“中第一项〉视为硬约束偏差变虽的函数•①字典序极小化(LexicographicMinimum)给出何序非负元素勺的敌组0，设q⑴=(打〉,a；",…，a⑵=(a$＞,…，af)若存在R{12・・・,K}・使4“＜汕＞・且卍)=町)(—1,…1)・则由a⑴确定的解优先于“⑴所确定的解。若没有其它比a更好的解时，“就是字典序极小化向fit。例如,有两个解沖''=(0,17
8、,500,77),严=(0,18,2,9〉。由定义知解Q⑴优先于解a(1).字典序极小化含义的另一种解释一抢先优先级，处于第&抢先优先级(记作片)的H标，总是优先(抢先)于任何低级(A+1,・・・,K)的目标.不管低级乘上多么大的何限数其级别仍然低于奇级口标。5・建模步骤第一步建立基础模型基础模型的数学表达式为：理想
