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《CHAPTER 3. TRANSFORMS 变换 - 浙江大学CAD&CG国家重点实验室》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Chapter3.Transforms变换金小刚Email:jin@cad.zju.edu.cn浙江大学CAD&CG国家重点实验室，教I三楼变换可以用来改变物体的位置、形状；对物体、光源和摄像机设置动画等用齐次坐标，4X4矩阵来表示大部分图形API(ApplicationProgrammingInterface)包含矩阵操作基本变换TranslationtransformRotationtransformScalingtransformShearingtransformTransformconcatenationRigidbodytra
2、nsformNormaltransformAffinetransform:平行线变换到平行线，但不保持长度和角度平移变换xyxy旋转变换性质1：迹与旋转轴无关，都为性质2：所有旋转矩阵为正交阵，多个旋转矩阵相乘仍为正交阵。比例缩放变换Example:Scalinginacertaindirection假设沿正交、右手系的矢量fx,fy,fz进行比例变换,则首先构造矩阵最后的变换为错切变换六个基本错切矩阵：Hxy(s),Hxz(s),Hyx(s),Hyz(s),Hzx(s),Hzy(s)。第一个下标表示改变的坐标 第二个下标表示实施错切的
3、坐标xz11xz11sHxz(s)由于
4、H
5、=1,故错切变换是一个保体积的变换ConcatenationofTransforms因矩阵相乘是不可交换的，所以矩阵的串连是与次序有关的矩阵串连的好处：节约计算量，提高效率复合矩阵为：C=TRS(对于column-major)注：对于row-major，复合矩阵为C=SRT刚体变换只有物体的位置（平移变换）和朝向（旋转变换）发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚体变换特点：保持长度和角度NormalTransform(法向变换)几何变换矩阵不能直接用于变换法向！假设变换几何的矩阵为M，则用于变
6、换法向的矩阵为N＝(M-1)Txypolygonnormalxyincorrectxycorrect沿x方向比例缩放0.5如果已知矩阵是正交的（只有旋转），则不需要计算机矩阵的逆：N＝(M-1)T＝M平移不影响法向若是刚体变换（保长的），采用法向变换的优点是可以避免法向的重新单位化什么时候应用？>如果三角形的顶点包含法向信息，则必须应用法向变换。>若法向是通过计算三角形边的叉积得到，则不需要。逆矩阵的计算如果矩阵由一个或多个简单变换复合而成，而且已知参数，则逆矩阵可通过“逆参数”和矩阵相乘次序来得到。 例子：M=T(t)R(Ø)，则M-
7、1=R(-Ø)T(-t)如果矩阵已知是正交的，则M-1＝MT如果未知任何信息：伴随矩阵法、Cramer法、LU分解法、Gauss消去法Cramer法和伴随矩阵法具有较少的“if”分叉，应优先选用。在现代的体系结构中，“if”测试最好避免特殊矩阵变换和操作实时图形中非常重要的矩阵变换和操作1。Euler变换2。从一矩阵中抽取基本变换3。绕任意轴的旋转Euler变换是一种直观的使一个物体（或摄像机）朝向一指定方向的有效方法。其来源：瑞士大数学家LeonardEuler缺省视域方向：视线为－z轴，头朝＋y轴Euler变换是三个矩阵的相乘E为一
8、正交阵，其逆矩阵Euler变换xy-zpitchheadrollEuler变换：Head，PitchandRoll其它命名方式：x-roll,y-roll,z-roll。在飞行仿真中，采用yaw而非head摇头“No”点头左右摇晃身体Gimballock现象：当一个自由度丧失时。当时，矩阵只依赖一个角（r+h）从一正交矩阵反求Euler参数把上式展开，得到从Euler变换获取参数由于sinp=f21,f01/f11=-tanr,f20/f22=-tanh故三个欧拉参数的值为h=atan2(-f20,f22)p=arsin(f21)r=a
9、tan2(-f01,f11)特殊情况处理当cosp=0时，f01=f11=0，此时r=atan2(-f01,f11)无解。因cosp=0时，故sinp=±1,可任意设定h=0,再得到r=atan2(f10,f00)由于p的值域为[-900,900]，如果p的值不在这个范围，原始参数无法求得。故求得的h、p、r不是唯一的。矩阵分解应用需求：获取比例缩放因子对于特殊系统，获取基本变换（如VRML采用Transform节点，不支持任意4X4矩阵）决定一个变换是否刚体变换当只有矩阵信息时，动画中关键帧插值问题从一矩阵中剔除错切部分平移获取很容易
10、，rotation,scaling,shears获取较复杂绕任意轴旋转xyzrstxyzrstxyzrstMMTRx(α)绕任意单位轴r旋转角度α是一个很有用的操作思想:(1).由r构造一正交坐标系(2).
