教育统计学第十一章因素分析

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1、C.E.Spearman（1863-1945）因子分析之父——英国理论和实验心理学家斯皮尔曼第十二章因子分析事物的表现是多方面的，事物之间的相互作用也是交叉重叠和具有层次性的，所以我们期望对事物进行准确描述的时候总会陷入一种两难：一方面，对事物的各种表现的观测越全面，对事物的认识就越准确和越完整；另一方面，对事物的观测越全面，得到的描述变量越多，对事物的特性的表述却变得更加困难了！显然，事物是普遍联系的，在高维度空间中描述事物比在低维度空间中描述事物更客观，却更困难。这一矛盾如何解决呢？统计学提供了最有效的方法和手段，即因子分析：它首先在广泛的范围内搜集资料，得到尽可能全面的高维度数据资

2、料，然后用因子分析进行降维处理，用较少的维度整合资料，获得对事物全面、准确而又便利的描述。本章内容一、基础数学知识二、基本概念和原理三、因子分析的基本步骤四、因子分析的SPSS过程因子分析实例一、基础数学知识（一）相关矩阵（二）单位矩阵（三）坐标的旋转（四）特征值和特征向量（五）对称矩阵（六）对矩阵的补充知识返回资料语文社会物理英语数学学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生109297100899599979389988382100777996877775937768931007584987372701561141761581401741901321321863833

3、4446374249353537相关矩阵back单位矩阵1、主对角线（左上至右下）上的值全为1，其余的值全为0，这样的矩阵，称为单位矩阵。2、同单位矩阵相乘并不会对原来的矩阵产生影响。back坐标的旋转设有某坐标（a1,a2），以原点为中心旋转θ角度后得到的坐标（b1,b2）为也可以写成这种形式：back反过来，如果点（b1,b2旋转-θ角度后得到的坐标应该是（a1,a2）,即：另外，点（b1,b2）旋转-θ角度，相当于纵轴和横轴旋转+θ角度。back（四）特征值和特征向量1、每个矩阵都会有与之对应的“特征值”和“特征向量”。2、p行p列矩阵的特征值和特征向量，原则上存在P组。back跳

4、至对称阵从理论上说，m×m阶的相关矩阵共计有m个特征值，而彼此正交的m个特征向量就构成了m维空间的一个“基底”（m维正交坐标系）。特征值的几何意义是：代表原测量标准化方差的ｍ个单位矢量在其对应的特征向量上投影的平方和。而m个特征值的总和就等于相关矩阵的“迹”（m个主对角线元素之和，其值为m），其几何意义是：ｍ个单位矢量，充其量是ｍ为空间的矢量，它们在ｍ个特征向量上的投影平方之总和即为m。back（五）对称矩阵所谓对称矩阵，就是各元素关于主对角线对称的矩阵。相关矩阵，单位矩阵都是对称矩阵。见下页back下面的内容对理解因子分析的计算方法，非常重要！back（六）对矩阵的补充知识1、矩阵的书

5、写规则2、矩阵的加法与乘法3、逆矩阵4、转置矩阵backback二、因子分析的基本概念和原理通常，在科学研究中首先得到的观测资料都是关于事物的外在特征或个别的具体特征，这些特征的观测值中，有些观测值可能具有高度的相关性，这种高度相关性显示出这些变量的背后存在着一个共同的制约因素，称为共同因子或因子。如果能够在一批多维数据资料中找到的m个共同因子可以解释各个变量的大部分变异，就可以使用这较少的m个因子描述原来很多变量才能描述的事物的属性。所以,将因子分析定义为：因子分析就是用少数几个因子来描述许多指标或因素之间的联系，以较少几个因子反映原资料的大部分信息的统计方法。返回跳例如假定对n个个体

6、实施了3项测量，获得了x1、x2、x3三列数据。下表是由x1、x2、x3两两之间的相关系数所构成的一个相关矩阵。表12-13变量的相关矩阵x1x2x3x110.7660.342x20.76610.866x30.3420.8661回（一）上述测量的结果两两相关系数不等于0，说明这些测量（x1、x2、x3）所测到的东西其实“你中有我，我中有你”，它们之间彼此并不独立。（二）将3项测量的结果都进行标准化，那么标准分数的方差就都等于1。如果把每一个标准化了的方差都看作为一个长度为1的单位矢量，那么两个变量之间的相关系数就是一个矢量在另一个矢量上的投影，或者说，就是这两个矢量夹角的余弦。特殊情况：

7、１、如果两项测量结果的相关系数等于１或－１，可以把这两项测量理解为两个指向相同或相反的平行矢量，也就是说两项测量测到的其实是同一种品质，充其量只是所采用的测量单位、标尺的取向不同而已；２、如果两项测量结果的相关系数等于０，则可以把两项测量理解为相互正交（垂直）的两个矢量，即，两项测量所测到的确实是与线性无关的两种“独立”品质。回由表12-1的相关矩阵不难发现：x1与x2之间的夹角为cos-1(0.766)=40o；x2与x3之间的夹