(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题[可编辑]

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1、数列和不等问题（教师版）先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例].正数数列仏｝的前斤项的和S”，满足2尻=%+1,试求：（1）数列仏｝的通项公式；（2）设bn,数列｛仇｝的前斤项的和为B”，求证：Bn<-anan+l2解：（1）由已知得4S”=（~+1）2,刃》2时，4S”_

2、=（%】+1）2,作差得：4色胡+2色品_2%,所以（舛+%心厂弘_2）=0,又因为｛%｝为正数数列，所以乙一％严2,即仏｝是公差为2的等差数列，由2国=%+1,得5=1,所以an=2n-[（2）bn=—-—==—（）,所以⑵2-1）（2斤+1）22n-1

3、2n+1D111111、111——(]———

4、-—_—■•)——v—"23352/t-lIn+122(2n+1)2417真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列匕}的前〃项的和,Sn=-aZI--x2w+,+-,n=1,2,3,nO(I)求首项q与通项％；(II)设Tn=—fn=1,2,3,，证明：XTi<-・S”/=124124I2解：(I)由Sn=^an—-X2r,+1+^,n=l,2,3,…，①得a.=Si=~ai—~X4-h^所以&二2・412再itl①有Sn-i=^an-i—-X2"+^,n=2,3,4,…4

5、将①和②相减

6、得：an=Sn—Sn-i=-(an—a„-i)—-X(2h+,—2"),n=2,3,…整理得:an+2n=4（an-14-2n'1）,n=2,3,…，因而数列｛缶+2”｝是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即：an+2n=4X4n_1=4n,n二1,2,3,…，因而缶二4”一2；n二1,2,3,…，4121(II)将anMn-2n代入①得Sn=-X(4"-2")--X2,,+1+-=-X(2冋一1)(2nd-2)二

7、x(2n+l-l)(2n-l)2n3T，FS：=2X2n(2nU-l)(2n-l)31_12X5—1_2nM—1所以

8、，丈”二㊁亍（刁二7/=!Z=l2円一1）3=2X2,,+I-1}二.先放缩再求和1.放缩后成等比数列，再求和例2.等比数列仏”｝中，丄，前刀项的和为S”，且57,59,58成等差数列.2]设仇=上」，数列血｝前几项的和为人，证明:Tn<~.1一％3解：・・°心一£=俶+。9，4_&=_。9'@=~Ci9'■••公比^=—=__~鸟2…anJ_(一丄)"•bn=—J—=<」一2〔/I、”4"—(—2)"3・2"1-(-壬（利用等比数列前n项和的模拟公式S”=Aqn-A猜想）丄(1—丄)・•・Bn=g+仇+•••»5丄++•••+—!—二

9、丄.=-(1)<-.“123-23-223・2"3J32"3~2真题演练2：（06福建卷理科22题）已知数列｛色｝满足°严I,%严2色+l（neN、（T）求数列｛色｝的通项公式;（II）若数列他｝滿足泸一舉“…4⑴二（色+1屮（必“），证明：数列｛仇｝是等差数列;(III)证明:鱼+鱼+..・+仏23a2a3atl+l2(I)解：TQ卄]=2q”+1(hw/Vj,・•・%+]+1=2(an+1),・•・{%+1}是以a】+1=2为首项,2为公比的等比数列.:.an+l=2n.B卩afl=22-1(hgN、（II）证法一：・・・泸-邸2一

10、1...4*日=（an+1）紜./.2[(勺+E+•••+$)-〃]=nbn,2[(勺+/?2+•••+$+化+1)-(〃+1)]=(〃+1)化+]・②一①，W2(bn+i-1)=(n+l)bn+i-nbn,即(n-V)bn+i-nbn+2=0,nbn+2-(n+l)bfl+i+2=0.③一④，得nbn+2-2咙计i+nbn=0,即化+2-2爲+bn=0,••也+2-bn+i=爲-bn(heN・•・｛btl｝是等差数列.（in）证明:2a-12a-12.放缩后为“差比”数列，再求和2a-11111111•K_•如二==>k=2Yi2

11、«i_[22(2如一1)23.2*+2*—2一23*2'5a.(L+-a2(久2色、〃1/111H1门1、721+…+n(+°+•••+)—(1)>,a3an+i232222"232”23>7H+例3.已知数列⑺”｝满足：⑷=1,t/n+1=(1+—X,(n=1,2,3--).求证：6/w+1>>3—--n证明：因为an+i=（1+—X，所以a”+i与a”同号,又因为ax=1>0,所以an>0,n即d曲一①二三色>0,即心+]>〜•所以数列｛匕｝为递增数列，所以①》e=l，UI1〃、〃E」h、12n-1即a+i—ci=—-tz>—-,

12、累加得：ci—a｝>—l—41——j-•"十丄〃2"“2"n丨22：2'l令»1111—I—7—r■*1?222232心1=—+—I2222心Z,所以丄S严丄+2+・・・+呻222232"两式相减得:n-1