中考数学复习指导：如何建立反比例函数模型解实际问题

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1、如何建立反比例函数模型解实际问题综观近儿年屮考数学试卷，在反比例函数考题屮出现了一类新题型——建立反比例函数模型解实际问题.它既符合素质教育提出的“培养学生应用意识”的新要求，同时也有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，解这类数学应用题的关键是通过分析、联想和抽象，将实际问题转化为一个数学问题，即构建一个反比例函数数学模型.本文将以中考题为例，说明反比例函数数学模型在实际问题中的应用，供学习时参考.例1•在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离$（米）成反比例函数关系，其图像如图1所示，P（5,1）在图像上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动

2、的距离是米.24.(A)不大于777324.(B)不小于—m33535（C）不大于—m3（D）不小于兰3737分析：这是一道实际应用问题，解题的关键是根据力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离$（米）的关系，建立反比例函数数学模型，将实际问题转化为反比例函数问题，利用反比例函数知识來解.解:TF与S成反比例函数关系,…可设F=-J'J由P（5,1）在图像上得：1=二解得55k=5.：・F与丫的反比例函数关系是F当F=10时,$=0.5.故物体在力的方向上移s动的距离是0.5米.例2.某气球充满了一定质量的气体，当温度不变时,气球内气体的气压p（kPa）是气体体积卩伽'）反比

3、例函数，其图象如图2所示，当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积应（）分析：这是一道气球气压与体积之间关系的应用问题，解题的关键是根据气球气压与体积之间的关系建立反比例函数数学模型，将实际问题转化为反比例函数问题，再利用反比例函数的图象性质来解.解：设p=-,V・・•点（0.8,120）在反比例函数图象上F.96.•・120=6§,/.F=96,所以〃与U的函数关系式为/?=—.•・•当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，9624即—>140,解得V<—,故应选（4）.V35例3.为了预防“非典”，某学校对教室釆用药熏消毒法进行消毒，已知

4、药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间兀（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图4）,现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时），关于x的函数关系式为,自变量兀的取值范围是，药物燃烧后y与兀的函数关系式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克吋学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？分析：（1）这

5、是一道正比例函数与反比例函数相结合的实际应用题，解题时应根据药物燃烧后的含药量y与吋I'可兀之间的关系建立反比例函数模型，然后求解函数解析式；（2）要计算学生冋到教室的时间，关键是利用药物燃烧后反比例函数关系式计算含药量等于1.6毫克的时间；（3）分别利用正比例函数与反比例函数关系式，计算空气屮每立方米的含药量等于3毫克时所对应的时间即可.348解：(1)y=—x^0<疋8；y=—,x>8；•4x(2)30；348(3)此次消毒有效；把y=3代入y=—x,得x=4；把y=3代入y=—，得％=16•因为16-4=12>10,「4兀即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续吋I'

6、可为12分钟，大于10分钟的有效消毒吋间(如图4),所以此次消毒有效.反比例函数实际应用的两种题型FI常生活屮存在着许多两个量Z间具有反比例关系的现象，或用反比例函数图象来表示，所以反比例函数在口常生活中有着广泛的应用。下面举例予以说明。一、纯文字型例1、码头工人以每天30吨的速度从一-艘船上卸载货物，把轮船卸载完毕恰好用了8天时间。（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度u（单位：吨/天）与卸货时间f（单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？分析：根据卸货速度X卸货时间=卸货总量，可以得到

7、u与r的函数关系式.解:（1）设该轮船上的货物总量为R吨，由题意可知：240^=30x8=240.所以v与r的函数关系为v=.汰％钟）〉所以，如果全部货物恰好在5天卸完则平均每天卸货48吨，若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨.评析：本题是以文字形式给出了问题的情景，解决问题时，要根据实际情景构建反比例函数函数关系式（如：利用数学公式、利用物理公式、利用实际问题情景中给出的数量关系）；再利用反比例函数函数关系式解决实际问题。二、图象信息型例2、为了预防“流行感冒”，某学校对教室采用药熏消