中南大学最优控制论文

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1、《最优控制理论》课程总结姓名：陈若谷班级：自动化门03班学号：0909门门05任课老师：彭辉一、摘要最优控制理论(optimalcontroltheory),是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。其所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在

2、于技术领域或社会问题中。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多。因此最优控制理论对于解决实际问题和促进科学的发展具有重要的意义和作用。关键字：最优控制变分法极大值原理动态规划二、引言控制工程领域早期的经典控制方法和技术早已被工程师们所熟知并进行广泛的应用。一般而言经典控制非常适合解决单输入单输出线性定长系统的控制器设计问题。然而对于高阶系统或多输入多输出系统,采用经典控制方法很难获得令人满意的控制性

3、能。在这种情况下，控制学者于20世纪60年代初开始研究状态空间方法，并依此发展出现代控制的理论框架。其中最优控制则是现代控制理论的主要分支，解决最优控制问题的主要方法有变分法、极值原理和动态规划。从数学的观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴，但它只能解决一类简单的最优控制问题,因为它只对无约束或开集性约束是有效的，而无法解决工程实际中经常碰到的容许控制属于闭集的一类最优控制问题。这就促使了控制学者们开辟求解最优控制问题的新途径。苏联学者Jl・C・庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝

4、尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用，而这两种理论则被称作是最优控制理论的两大基石，它们对现代控制理论的发展起了重要的推动作用。三、最优控制问题的分类①按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统。②按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环最优控制系统。③按性能指标分类：最小时间控制问题、最少燃料控制问题、线性二次型性能指标最优控制问题、非线性性能指标最优控制问题。④按终端条件分类：固定终端最优控制问题、自由终端（可变）最优控制问题、终端时间固定最优控制问题、终端时间可变最优控制问题。⑤按应用领域来分

5、：终端控制问题、调节器问题、跟踪问题、伺服机构问题、效果研究问题、最小时间问题、最少燃料问题。主要方法为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程,给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态,并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。解决最优控制问题的主要方法有变分法、极大值原理和动态规划。1、变分法变分法的发展可追溯到17世纪末，后来在20世纪60年代被引入解决最优控制问题。它是处理

6、函数的函数的数学领域，与处理数的函数的普通微积分相对。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法的关键定理是欧拉方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小者（或者两者都不是）。其基本思想是将变分问题转化为微分方程的边值问题进行求解，是一种非常经典的方法，但它只能解决容许控制属于开集的最优控制问题，无法解决工程实际中经常遇到的容许控制属于闭集的最优控制。下面将分一些基本情况对变分法进行简要概述。1)、无等式约束在无等式约束下求取函

7、数极值的必要条件为¥=瞥¥=°,即微oxdtox分方程。解题时常用其拓展形式Lx：一Lg—LXix.x—LxjxjXj=0当然仅满足必要条件并不能保证泛函取得极值，还应考虑下列情况①端点固定此时x(t0)=x0,x(tf)=xf则只需8x(to)=8X(tf)=0即可②端点可变考虑端点约束X(t0)=ci(to),X(tf)=B(tf).([&(5)_x(t0)]T:+L(t0)=0则需加入横截条件.驚°〕，文(tf)]T鹉+L(tf)=O若当端点时刻固定，端点状态自由时，其横截条件简化为rWo)=5x(t0)皿=0VSx(tf)2)、有等式

8、约束处理有等式约束的泛函极值问题通常通过构造拉格朗日方程将有等式约束的问题转化为无等式约束的问题，下面列举一些常见的等式约束，求泛函极值的必要条件。(1)连续时间①