一个自然数有多少个小于它的数与它互质(2)

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1、一个自然数有多少小于它的数与它互质（2）河北省平乡县大刘庄小学李明亮一个自然数有多少个比它小的数与它互质呢？I•自然数M是质数如果自然数M是质数，则比它小的所有自然数都与M互质，即小于M、且与M互质的自然数有M—1个。例1•小于3、且与3互质的数有2个；小于门、且与门互质的数有10个。II・自然数M分解质因数的结果是M=am如果自然数M分解质因数的结果是M=aTa是质数，m是自然数），则在1〜M范围内，与M有1以外的公因数的自然数有a?a=a吩1个。与M互质的自然数有a-am!am1（a-1）个。即当自然数M分解质因数的结果是M=a1时，小于M、且与M互质的自然数am_1（a-1

2、）个。例2.27=3,364=2,6在1〜27范围内，与27互质的数有33「1x（3—1）=18（个）；在1〜64范围内，与64互质的数有26-1x（2-1）=32（个）。III•自然数M分解质因数的结果是血32m2例3•在小于72的自然数中，与72互质的数有多少个?32解：72=2x372-2=36（个）72-3=24（个）72-(2x3)=12(个)在1〜72的范围内，2的倍数有36个，3的倍数有24个，2和3的公倍数有12个；与72互质的数的个数应夜是了2减矛的倍数的个数,减£~3的倍数的个数：再加上—2和3的公倍数个数，即72-36-24+2=24（个）。自然数M分解质因

3、数的结果是M=aim132^（&、毗均为质数，且ai^a2；mkm2均为自然数）吋,m21ml-=31_1(ai-1)(a2-1)即在1aim1逆m2_1个、aim1~1a!m2-1个；与M互质的数有M范围内，ai的倍数、a2的倍数、出和a?的公倍数分别有个、所以，例3还可以计算：q272=2x32(2-1)x(3-1)x(7-1)x(11-1)x(13-1)x(17-1)=1x2x6x10x12x16=23040（个）分母是102102的最简真分数有23040个。x3-1m4-1、ml-1m2-1m3-1m4-1a4丿+a13283尙

4、ml—1m2-1m3—1m4—1/((=a

5、i矩a3尙(aia2a3a4—aza3a4—aia3a4—aia2a4—aia2a3+a3a4+a2a41x(2-1)x(3-1)=2x3x1x2=24(个)IV・自然数M分解质因数的结果是Mmm1a2aam3当M=a「32m2aam?ai.a2>辭均为质数，且互不相等；mi、m2,m3均为自然数）时,aia2a3的倍数分别有:ai>a2>a3>aia2>aia3、a2a3>ml皿砒•ml-1m2砒/人、aia2a3-a仁a1aas(丨)ml他m3.__mlm2-1帽/人、aia2a32=a1a?a3(个)皿尬酣皿尬m3-1/人、aia2a3丁a3=a1a?a3(个)・••在1〜

6、M范围内，与M互质的数有m2-1m3mlnem3-1、zml-1m2-a3+aia2a3)+(ai&、rrrihlm2^lm3=T"a2aml砒/ml-1m2砒mlaia2a3—(a1&as+ai船1m3ml-1u2m3-Imlm2-lm3-Ia3+ai铉as+ainas=ai32a3(aia2a3—a2a3—aia3—aia2+a34-a24-ai—1)ml—1m2—1m3—1/彳、/小彳、/小彳、=aiaz$(a1—1)(a2—1)(a3—1)ml-1m2-1m3-1zi八即，在M范围内，与M二aim1Q2m2a3m3互质的数有m1-1m2-1m3-1/.、/"、人aia2a

7、s(句一1)(a2—1)(a3—1)个。例4•小于1800并且与1800互质的数有多少个？322解：1800=2x3x5・・•小于1800并且与1800互质的数有23"1x32-1x52_1x(2-1)x(3-1)x(5-1)=22X3x5x1x2x4=480(个)V•自然数M分解质因数的结果是..mlm2砒m4M=a1a2a3繼当自然数M分解质因数的结果是M=aiajm3a4(ai>a2>a3、a4均为质数，且互不相等；m1>m2、m3、m4均为自然数）时，在1〜M范围内，ai>32、更、a4,aia2ml-1m2-1m3个、aasa3m4-1人ml-1皿m3-1m4-1nil

8、m2-1m3-1m4-1ml个、aa?a4I>aia2aja«J，1m2-1m3-1m4-1入a2a3m〕。在1〜M范围内，与M互质的数有曲/ml-1m2砒曲ml—(ai32a3缶+aiml尬n)3曲_(酣一1祕砒曲mlm2-1砒曲mlm2m3-aia2aa筑—(ai爼a3缶+aia很创+ai也a31mlmlm2nGm4-1、(ml-1m2-1mJnrtml-1m2m3-1nrtm1-

9、务+朗爼as别J+(aia?ajas+a1a?册创+ai1尬m3m4-1mlm2-1m3-1曲