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《三角形轴对称角平分线和垂直平分线应用集锦》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、角平分线和线段的垂直平分线知识点讲解：1.定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。2.角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。3.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。4•如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理。其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都冇逆命题，但一个定理并不都冇逆定理。5.定理：线
2、段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。6.线段的垂胃平分线另-•种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相筹的所冇点的集合。例题分析第一阶梯例1.已知：如图CD丄AB于D,BE丄AC于E,且CD、BE相交于0点。求证:(1)当1二2时，OB=OC(2)当OB=OC时,1=2点拨：要证0B二0C,只须证RtACEO与RtABDO全等，由对顶角相等与1二2的条件,答案：证明(1)V1=2,0E丄AC,0D丄AB・・・0E二0D(角平分线上的点到角两边距离相等)・
3、・・0B二0C在AOEC与厶ODB中fZCAO-ZADOlOS^OD
4、Z3-Z4AAOEC^AODB(ASA)(2)TOE丄AC,OD1ABAAOEC^AODB(AAS)即可得证，反之成立。此例是证明互逆命题。在AOEC与AODB中(OB•OB4Z3-Z4^OBC■^ODB说明：利川角平分性质赵理或判定立理时，一立耍注意垂直的条件。例2.写出命题“玄角三角形两锐角互余”的逆命题，并判断它的真假。点拨：在判断逆命题时，要明确互余的两角必是锐角，另外在未对一个三角形作岀判断Z前一般不称“锐角”。答案：解：逆命题是：有两个角互余的三角形是直角三角
5、形。说明：在写一个命题的逆命题时，并不是将原命题的题设和结论简单地互换，要注意命题木身的逻辑性。T）例3.已知：如图1二2,BC丄ACTC,BD丄ADTD,连结CD交ABTE.求证：AB垂:ft平分CD点拨:要证的结论“垂直平分”，实际是（1）AB丄CD（2）CE=ED把角相等和垂直两个条件写出后，再使用角平分线性质定理，得BC=BD,利用ACBE与ADBE全等得证。答案：证明:V1=2,BC丄AC,BD丄AD・・・BOBD（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等）V1+3=2+4=90°・•・3=4（等角的余角相等）在ZXCBE与ADBE
6、中'BC・BDZ3-Z4AACBE^ADBE(SAS)ACE=DE,CEB=DEBVC,E,D三点在同一立线匕・・・AB丄CD于E・・・AB垂EL平分CD说明：用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程第二阶梯例1•已知：如图AB=CD,AD=BC,求证:(1)AD//BC(2)D+DAB二180°(3)BE二DF点拨：要证AD//BC,只须证3二4,由已知条件，可证得△ADC^ACBA得到角等线段相等的结论后，再证△E0A与ZkFOC全等，再做线段和、并证明:(1)在ZADC与ZCBA中(AB^CDIad^bc[A
7、C-OA(删迦VAD//BCAB+DAB=180°VAADC^ACBA(SSS)•••3=4AAD//BC(2)VAADC^ACBA・•・B二D・・・D+DAB-180°・・•DC二ABCF=AE即BE二DF/.AB-AE=CD-CF(3)VAADC^ACBA・・・1=2在AFOC与ZXEOA中[Z1-Z2Iao-oc0■上6AAFOC^AEOA(ASA)Z.CF=AE说明：(1)利用三角形全等可以证明线段相等，角相等(或互补)，也可以证明两点线的位置关系。(平行或垂也)(2)如果EF分别与AD,CB的延氏线相交，结论如何呢？如果EF丄AB,
8、结论乂如何呢？请试一试，让EF过0点动起来，观察其特殊的位置关系，看看有什么结论?例2.求证：有两边和莫中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等。点拨：对于命题证明，要先依题意，画出符合条件的锐角三角形，再根据图形，写岀己知，求证，利用全筹三角形知识进行证明。已知：如图,在锐角AABC与AA'B'C'中，AB二A'B',BOB'C',AD丄BC于D,A'D'丄B'C'于D',AD二A'D'求证：ZkABC竺ZA'B'C'证明:在RtAABD与RtZXA'B'D'中在ZXABC与AA'B'C'中AB■砂jW-A'D'ARtAABD^RtAA,
9、B，D‘(HL)/.AABC^AA,B‘C‘(SAS)・•・B=B说明：(1)此类命题中的两个三角形，在画图时，一般不具备特殊的位置关系，证明要在独立的两个三角形间
