相似三角形难题

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1、1．如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，且＝，∠BAD＝∠ACE．（1）求证：AC2＝BC·CD；ABCDE（2）若E是△ABC的重心，求的值．2．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在BC边上移动，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折，点C的对应点为C1．（1）当AC1⊥BC时，CD的长是多少？（2）设CD＝x，△AC1D与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，ABC备用图ABCDC1（3）在点D移动的过程中，是否存在△BC1D为直角三角形的情形？若存在，直接写出CD的长；若不存在，请说明理由．3．已知△ABC中，AB＝AC＝6，FC:EC=

2、1：3，点D在AB边上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥AC，交BC边于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，连接DF．（1）设AD＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，（2）若△DEF和△CEF相似，求AD长6ABDCEF（3）是否存在点D，使△ADF为等腰三角形？若存在，直接写出AD的长；若不存在，请说明理由．4．如图，等边△ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边向左作等边△ADE，连接CF、EF，设＝k．（1）求证；四边形CDEF是平行四边形；（2）当∠DEF＝30°时，求k的值；（3）是否存在实数k，使S□CDEF＝S△ABC？若存在，求出

3、k的值；若不存在，请说明理由．ABDCEF65．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点P在射线AC上，点Q在CB的延长线上，且AP＝BQ，连接PQ交直线AB于D，过P作PE⊥AB于E．（1）求证：DP＝DQ；（2）设AP＝x，BD＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）当△DEP∽△QCP时，求AP的长．ABC备用图ABCPEQD66．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF都是等边三角形，顶点B、D与原点O重合，边BC在x轴的正半轴上，边AB与DE在一条直线上．已知AB＝6，DE＝2．（1）将△DEF绕点O逆时针方向旋转90°（如图2），连接CE、CF．试判断四边形

4、DECF的形状，并说明理由；（2）将△DEF绕点O旋转，连接AF．在旋转过程中，当△ABF是直角三角形时，求点F的坐标；（3）将△DEF沿直线AB上下平移，连接AF、BF．在平移过程中，△ABF能否成为等腰三角形？如果能，直接写出点D的坐标；如果不能，请说明理由．AyxCEFO(B)(D)图1AyxCEFO(B)(D)图2AyxCO(B)备用图67．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边中点，∠EDF＝∠B，DE与射线BA相交于点E，DF与边AC相交于点F，连接EF．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）若DF＝EF，求证：DF∥AB（3）在（2）的条件下，当DE⊥AC时，求∠

5、BAC的度数；（4）若AB＝AC＝5，BC=8．设BE＝x，△DEF的面积为y．①求y关于x的函数关系式，②当△AEF是等腰三角形时，直接写出x的值．ABCD备用图ABCD备用图ABECDF66