2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例教案理新人教A版

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1、第7讲　解三角形的应用举例基础知识整合1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如B点方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向、东北方向等．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；(2

2、)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是.1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

3、A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案　B解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.2．(2019·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(　　)A．10nmileB.nmileC．5nmileD．5nmile答案　D解析　由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝5.3．(2019·厦门模拟)如图，D，C，B在地平面同一直线上，

4、DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)m答案　D解析　直角三角形中，根据三角函数的定义得－＝10，解得AB＝5(＋1)(m)．故选D.4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.答案　7解析　∵82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×

5、3×5×cosD，∴cosD＝－.∴AC＝＝7(km)．5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案　50解析　设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－

6、50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.核心考向突破考向一　测量距离问题例1　(2019·江西赣州模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(　　)A．20海里B．40海里C．20(1＋)海里D．40海里答案　A解析　由题意可知，∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40(海里)．在

7、△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°，由正弦定理可得AC＝＝20(＋1)(海里)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝＝20(海里)．故选A.触类旁通求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．即时训练　1.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60

8、°，试求AB的长．解　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.考向二　测量高度问题例2　(2019·湖北模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m