2020版高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数课时4平面向量的应用教案文（含解析）新人教A版

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1、平面向量的应用1．会用向量方法解决简单的力、速度的分解与合成问题．2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．3．会用向量方法解决某些简单与平面解析几何有关的问题．知识梳理1．用向量法处理垂直问题(1)对非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0　.(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0　.2．用向量法处理平行问题(1)向量a与非零向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使得　a＝λb　.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是平面向量，则向量a与非零向量

2、b共线的充要条件是　x2y1－x1y2＝0　.3．用向量法求角(1)设a，b是两个非零向量，夹角记为α，则cosα＝　　.(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是平面向量，则cosα＝　　.4．用向量法处理距离(长度)问题(1)设a＝(x，y)，则a2＝

3、a

4、2＝　x2＋y2　，即

5、a

6、＝　　.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，且a＝，则

7、AB

8、＝

9、

10、＝　　.5．向量在物理中的应用(1)向量在力的分解与合成中的应用．(2)向量在速度的分解与合成中的应用．热身练习1．已知△ABC的三个顶

11、点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形　因为＝(－4，－8)，＝(2，－2)，＝(－6，－6)，而·＝2×(－6)＋(－2)×(－6)＝0，所以AB⊥BC，故△ABC为直角三角形．2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(A)A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F

12、2，F3成60°角　如图，因为∠AOB＝120°，所以∠OAC＝60°，在△OAC中，由余弦定理得OC＝，所以OA2＋OC2＝AC2，所以∠AOC＝90°，故F1与F3成90°角.3.平面上有三个点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为　y2＝8x(x≠0)　.　因为＝(2，－)，＝(x，)，又⊥，所以·＝0，所以(2，－)·(x，)＝0，即2x－＝0，所以y2＝8x(x≠0)．4．已知平面向量a＝(1，cosθ)，b＝(1,3sinθ)，若a与b共线，则tan2θ的值为　

13、　.　由条件得3sinθ－cosθ＝0，所以tanθ＝，tan2θ＝＝＝.5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝BC＝1，P是腰DC上的动点，则

14、＋3

15、的最小值为　5　.　以D为原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1,1)．设点P(0，y)，0≤y≤1，则＋3＝(5,3－4y)，所以

16、＋3

17、＝，即当y＝时，所求模长取得最小值5.向量在物理中的应用一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知

18、F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为A．6B．2C．2D．2结合向量的平行四边形法则(如图)，易知F3的大小，即平行四边形对角线OD的长度，根据余弦定理，可得OD2＝22＋42－2×2×4cos120°＝28，故OD＝2.D用向量法解决物理问题的步骤：①将相关物理量用几何图形表示出来；②将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题；③最后将数学问题还原为物理问题．1．一条河宽为400m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B

19、处所需时间为　1.5　min.　　船速度与水流速度的合速度是船的实际航行速度．如图，

20、v1

21、＝20，

22、v2

23、＝12.根据勾股定理

24、v

25、＝16(km/h)＝(m/min)，故t＝400÷＝1.5(min)．向量在平面几何中的应用在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.(方法一：基向量法)设＝a，＝b，则

26、a

27、＝

28、b

29、，且a·b＝0，则＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋b.＝－＝－＝b－a.·＝(b－a)·(a＋b)＝－a2＋b2＝0，所以⊥，即AD

30、⊥CE.(方法二：坐标法)以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，设CA＝2，则A(2,0)，B(0,2)，D(0,1)，E(，)，所以＝(－2,1)，＝(，)，所以·＝－＋＝0.所以⊥，即AD⊥CE.用向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系．2．如图所示，四边形ABC