2020届高考数学第八篇圆锥曲线的综合问题（第3课时）定点、定值、存在性专题课时作业理新人教A版

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1、第3课时定点、定值、存在性专题课时作业1．已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．解：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，由＝λ1

2、知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.同理由＝λ2知λ2＝－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)＞0，②且有y1＋y2＝，y1y2＝，③③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt＜0，∴mt＝－1，满足②，得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．2．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(

3、1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．由＝得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥.

4、又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.3.如图，已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N，证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．解：(1)设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝，直线OB方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B.又直线OA的方程为y＝x，则A，kAB＝＝.又因为AB⊥OB，所

5、以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1，(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M；直线l与直线x＝的交点为N.则＝＝＝·.因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得＝·，即所求定值为＝＝.4．(2019长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M，点F为抛物线C：y＝mx2(m＞0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．(1)求m的值；(2)过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FM，FB的斜率分别为k1，k2，k3，问k1，k2，k3能否成公差不为零的等

6、差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．解：(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为，线段MF的中点N在抛物线C上，∴－＝m.8m2＋2m－1＝0，∴m＝.(2)由(1)知抛物线C：x2＝4y，F(0,1)．设直线l的方程为y＋＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx＋8k＋2＝0，Δ＝16k2－4(8k＋2)＞0，∴k＜或k＞.由根与系数的关系得假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.而k1＋k3＝＋＝＝＝＝＝，k2＝＝－，∴＝－，8k2＋10k＋3＝0，解得k＝－(符合题意)或k＝(不合题意，舍去)．∴直线

7、l的方程为y＋＝－(x－2)，即x＋2y－1＝0.