多峰曲线拟合

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1、目录1背景介绍22数据处理42.1高斯拟合42.1.1共轭梯度法52.1.20.618法62.1.3计算效果72.2分段多项式拟合82.2.1多项式拟合的不足82.2.2分段标准82.2.3峰位、峰面积计算113软件介绍114结语1213/13多峰曲线拟合1背景介绍工程上常采用电泳的方法来分离不同的DNA片段。带电微粒在电场作用下，向着与其电性相反的电极移动，称为电泳(electrophoresis)。利用带电粒子在电场中移动速度不同而达到分离的技术称为电泳技术。常用微流控芯片来做为DNA混合液的载体。微流控芯片技术是把生物、化学医学分析过

2、程的样品制备、反应、分离、检测等基本操作单元集成到一块微米尺度的芯片上，自动完成分析全过程。将DNA混合液放在特制的微流控芯片中，可以实现对溶液的精确控制，对DNA片段的检测液变得方便简单。图1为一片微流控芯片实物图。实验室采用电泳技术来分离DNA片段。首先对溶液中的DNA片段进行染色处理，然后将溶液注入微流控芯片。在微流控芯片的沟道两端加载高压进行电泳，用激光照射经染色处理的DNA片段使发出荧光，采用光电倍增管来检测荧光的存在进而检测电泳过程,流程示意图如图2。用单片机采集光电倍增管的电流信号传入计算机得到时间-电压曲线（如图3），根据曲

3、线中峰的位置的个数来判断溶液中DNA片段的种类。图1微流控芯片13/13图2DNA检测分析系统示意图图3电泳曲线13/13在图3中，每一个峰代表一个DNA片段，峰的位置和面积代表着DNA片段的种类信息。为了从曲线中获得DNA信息，需要对曲线进行相应的处理。可以先对曲线作拟合处理，再由拟合得到的数学表达式来求得曲线中峰的位置和面积。本文讨论两种曲线拟合方式：1、高斯曲线拟合；2、多项式拟合。2数据处理2.1高斯拟合由于曲线中有多个峰，因此考虑用高斯函数和洛伦兹函数的线性组合来拟合曲线，预计会有好的结果[1]。记拟合函数为：(1)可以看到，由洛

4、伦兹函数和高斯函数组合而成。其中各组合系数的意义如下：：洛伦兹函数和高斯函数的组合比例，；：峰位置信息，；：峰的半高宽，；：峰强度信息，。要对电泳曲线进行拟合，就是要求参数，，，使函数能够和曲线匹配的最好。本文采用下式来刻画这种匹配效果：(2)其中为测得数据点。这样，拟合就转化为求的极小值问题：(3)13/13这是一个求多元非线性函数的极值问题，目前没有解析法直接求得，可以采用迭代方法逐步获取该函数的极小值。本文采用共轭梯度法来求解。2.1.1共轭梯度法共轭梯度法是最优化中最常用的方法之一。[2]它具有算法简便、存储需求小等优点，十分适合于

5、大规模优化问题。共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点。共轭梯度法不仅是解大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化问题最有效的算法之一。共轭梯度法最早是由Hestenes和Stiefel在1952年提出来的，用于解正定系数矩阵的线性方程组。在这个基础上，Fletcher和Reeves在1964年首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，现在

6、共轭梯度法已经广泛地应用于实际问题中。本文采用再开始共轭梯度法来作算法设计，确定共轭方向采用Fletcher-Reeves公式，一维搜索采用0.618法。以下简述算法设计步骤。记问题为，其中为n维向量，终止误差为，，为目标向量。step1：初始步，给出初始点，终止误差，。step2：计算，如果，停止迭代，输出；否则令。step3：线性搜索求，使得，并令，。step4：计算。若，令，转step2；如果，停止迭代。13/13step5：若，令，转step2.step6：计算，。step7：若果，令，转step2；否则转step3。在第三步中，要

7、求采用一维搜索获取最佳步长，本文采用0.618法来作精确线性搜索。2.1.20.618法0.618法是一种用于求单峰函数的极小值的分割法。其基本思想是通过取试探点和进行函数值的比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短，当区间长度缩短到一定程度时，区间上各点的函数值均接近极小值，从而各点可以看作为极小点的近似。这种方法仅需计算函数值，不涉及导数，又称直接法。下面介绍0.618法的技术细节。设包含极小点的初始搜索区间为，设在上是凸函数。0.618法的基本思想是在搜索区间上选取两个对称点，，其中是区间上的黄金分割点，是的对称点，且，比较这两点处的函数

8、值和的大小，若，则说明极小值在区间内，故取新区间为，若，则说明极小值在区间内，故取新区间为。新区间的长度为原区间长度的0.618倍。新区间包含原区间中两个对称点中的一点，我们只要