应用密码学第12讲-分组密码小节

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1、分组密码小结1主要内容欧几里德算法求最大公约数求模n的逆元2欧几里得算法（辗转相除法）引理1记gcd(a,b)是非负整数a和b的最大公因子,则gcd(a,b)=1等价于存在整数x,y,使得ax+by=1其中的x和y可由辗转相除法求出。3辗转相除法引理2(带余除法)设a是整数,b是自然数,则存在整数q和非负整数r,使得a=bq+r，且0<=r

2、a=bq+r,且d

3、b，则一定有d

4、r，则d

5、gcd(b,r).下证d=g

6、cd(b,r).由于gcd(a/d,b/d)=1,一定有gcd(r/d,b/d)=1，故d=gcd(b,r)。证毕。4辗转相除法：----计算gcd(a,b)Step1Aa;BbStep2计算带余除法，求出满足A=qB+r和0<=r0时,执行AB;Br后返回执行Step2.5例1计算gcd(63,100)解63=0×100+63,100=1×63+37,63=1×37+2637=1×26+11,26=2×11+4,11=2×4+3,4=1×3+1,3=3×1+0故gcd(63,100)=1

7、.6系数的计算倒推进行(将余数代入):1=4-1×3=4-1×(11-2×4)=-1×11+(1+2)×4=-1×11+3×4=-1×11+3×(26–2×11)=-7×11+3×26=-7×(37–26)+3×26=-7×37+(7+3)×26=-7×37+10×26=-7×37+10×(63-37)=10×63-17×37=10×63-17×(100-63)=-17×100+27×637输出使得ax+by=gcd(a,b)的gcd(a,b)和x,y的推理过程.记a0=a,a1=b,则求ax+by=gcd(a,b)的过程可写为：即8欧几里得算法：----计算gc

8、d(a,b)和使ax+by=gcd(a,b)成立的x,y.Step1Aa;Bb;s=1;t=0;x=0;y=1;Step2计算带余除法，求出满足A=qB+r和0<=r0时,执行AB;Brwx;xs-qx;sw;wy;yt-qy;tw;后返回执行Step2.9欧几里得算法：----计算gcd(a(x),b(x))和使z(x)a(x)+y(x)b(x)=gcd(a(x),b(x))成立的z(x),y(x).Step1A(x)a(x);B(x)b(x);s(x)=1;t(

9、x)=0;z(x)=0;y(x)=1;Step2计算带余除法，求出满足A(x)=q(x)B(x)+r(x)和deg(r)

10、ntn1,n2,q,r,b1,b2,t;if(!a)b2=0;else{n1=n;n2=a;b2=1;b1=0;do{r=(n1%n2);q=(n1-r)/n2;if(!r){if(b2<0)b2=n+b2;}else{n1=n2;n2=r;t=b2;b2=b1-q*b2;b1=t;}}while(r);}return(b2);}11例子：求10110110在modb(x)中的逆10110110a(x)=x7+x5+x4+x2+x,b(x)=x8+x4+x3+x+1100011011,求z(x)满足z(x)a(x)+y(x)b(x)=1.解：step1:A(x

11、)=a(x),B(x)=b(x),s(x)=1,z(x)=0,t(x)=0,y(x)=1;step2:A(x)=0*B(x)+r(x),r(x)=a(x);由于r(x)!=0，则A(x)=B(x),B(x)=r(x);w(x)=z(x)=0;z(x)=s(x)-q(x)z(x)=s(x)=1;s(x)=w(x)=0执行step2(100011011)=x*(10110110)+r故q(x)=x;r(x)=(01110111)A(x)=(10110110);B(x)=r(x);w(x)=1,z(x)=x;s(x)=1;执行step2(10110110)=x*(011

12、10111