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1、第三章多维随机变量引例:1.炮弹落点的位置必须用两个坐标X和Y来描述；2.遗传学家在研究儿子的身高X与父亲身高Y、母亲身高Z之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量X、Y和Z。3.若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、湿度等等.特点:试验结果需用两个或两个以上的随机变量描述。定义:设X1，X2，…，Xn是定义在同一个样本空间Ω上的n个随机变量，称随机变量组（X1，X2，…，Xn）为定义在Ω上的n维随机变量或n维随机向量。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X
2、、Y说明而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.有关,下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机变量的情况，不难类推.一、二维随机变量的联合分布1.定义:设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,称二元函数F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或随机变量X和Y的联合分布函数。§3.1二维随机变量及其联合分布2.几何意义:F(x,y)表示随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。xy(x,y)3.二维分布函数F(x,y)的基本性质
3、0≤F(x,y)≤1；(2)F(x,y)关于变量x和y均单调非减，且右连续；(3)对于任意固定的y，F(-∞,y)=0;对于任意固定的x，F(x,-∞)=0;F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1对于任意的x1＜x2,y1＜y2恒有:P{x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0注：任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。二、二维离散型随机变量(X,Y)定义如果二维随机变量(X,Y)可
4、能的取值为有限或可列个实数对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量．1.(X,Y)的联合分布列若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,…，则称概率函数pij=P{X=xi,Y=yj},(i,j=1,2,…)，为(X,Y)的概率分布或(X,Y)的联合分布(列)．2.(X,Y)的联合分布列pij的性质：（1）pij≥0；i,j=1,2,…;（2）3.(X,Y)的分布函数其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的i,j来求和的。4.(X,Y)的分布表或X与Y的联合分布表y1y2
5、…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…：：：：xipi1pi2…pij…：：：：XY例1.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次,令,求(X,Y)的联合分布列。XY0110解：例2将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求X与Y的联合分布列，并求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率.解X、Y各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，取(1,2)(2,1)(2,2)均不可能.取其他值的概率可由古典概率计算.(X,Y)的联合分布列为：P{第三个邮筒里至
6、少有一封信}Y01201/92/91/912/92/9021/900X=P{第一、第二个邮筒里最多只有一封信}=P{X+Y≤1}因为事件{X+Y≤1}包含三个基本事件，所以P{X+Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=5/9即第三个邮筒里至少有一封信的概率为5/9三、二维连续型随机变量(X,Y)定义设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对于任意实数x,y有则称（X,Y）为二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为二维随机变量
7、（X,Y）的概率密度函数或联合密度函数。概率密度函数f(x,y)的性质（1）f（x,y）≥0（4）点(X,Y)落在xoy的平面区域D内的概率为:（3）若f(x,y)在（x,y）处连续则有注：具有（1）（2）两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。例2设连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为求(1)常数k;(2)(X,Y)的分布函数F(x,y);(3)P{X>1,Y<1}解(1)因为所以(3)(2)F(x,y)=例3设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为D为xoy平面内由
8、x轴,y轴和不等式x+y<1所确定的区域.解二维均匀分布定义：设D为平面上的有界区域,D的面积大于零.若二维随机变量(X,Y)的联合密度为则称(X,Y)在D上服从均匀分布易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有注：向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标（X,Y）在D上服从均匀分布.例4设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求(1
