2018_2019学年八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线教案(新版)北师大版

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1、3线段的垂直平分线一、教学目标1.知识与技能(1)要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理,能够利用这两个定理解决一些问题;(2)能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理.2.过程与方法(1)经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力;(2)体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神;(3)学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.3.情感态度及价值观(1)积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲;(2)在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.二、教学重点、难点重点:能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论.难点

2、:(1)写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它.(2)用尺规作线段垂直平分线.三、教具准备教师准备:课件.学生准备:练习本.四、教学过程1.创设现实情境,引入新课教师用多媒体演示:如图3-1,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?图3-1[生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A,B一侧的河岸边的交点上.[师]同学们认同他的看法吗?[生]认同.[师]认为对的说说你的理由是什么呢?[生](回忆定理)我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中,要求在“A、B一侧的河

3、岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成.[师]这位同学分析得很好,我们在七年级时研究过线段的性质,线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实,但是用这种观察的方式是很难说服别人的,你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗?教师演示线段垂直平分线的性质:定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.2.讲述新课【第一部分】线段垂直平分线的性质定理.[师]我们得到了线段垂直平分线的性质定理,大家知道这是不够的,还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它.那么如何

4、证明呢?[师](引导)问题一:①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”,可线段垂直平分线上的点有无数多个,需一个一个依次证明吗?(强调)我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可,因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质.(开始让学生有这样的数学思想)②你能根据定理画图并写出已知和求证吗?③谁能帮老师分析一下证明思路?[生](思考回答)[师生共析]已知:如图3-2,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.求证:PA=PB.图3-2分析:要想证明PA=PB,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.证明:∵MN⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC

5、,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).【第二部分】线段垂直平分线的判定定理.教师用多媒体完整演示证明过程.同时,用多媒体呈现:想一想:你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?[师](引导、并提问两学生)问题二:①这个命题是否属于“如果……,那么……”的形式?②你能分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果……,那么……”的形式吗?③最后再把它的逆命题写出来.[生A](思考分析)原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”.[师]有了这位同学的精彩分析,逆命题就很容易写出来.[生B]如果有一个

6、点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.[师]很好,能否把它描述得更简捷呢?[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.[师]非常好!当我们写出逆命题时,就想到判断它的真假.若为真,则需证明它;若为假,则需用反例说明.请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证.(给学生思考时间)已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.(分组讨论,鼓励学生多想证明方法,并派代表上黑板写写本组的证明过程)[师]看学生的具体情况,做适当的引导.证明:(证法一)过点P作已知线段AB的垂线PC,如图3-3.∵PA=PB,PC=PC,∴Rt

7、△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC,即点P在AB的垂直平分线上.图3-3(证法二)取AB的中点C,过PC作直线,如图3-4.∵AP=BP,PC=PC,AC=CB,∴△APC≌△BPC(SSS).∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB.∴点P在AB的垂直平分线上.图3-4(证法三)过P点作∠APB的角平分线,如图3-5.∵AP=

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