2018_2019学年八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线教案（新版）北师大版

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1、3线段的垂直平分线一、教学目标1.知识与技能（1）要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题；（2）能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理.2.过程与方法（1）经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力；（2）体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神；（3）学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．3.情感态度及价值观（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；（2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、教学重点、难点重点：能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论．难点

2、：（1）写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它．（2）用尺规作线段垂直平分线．三、教具准备教师准备：课件.学生准备：练习本.四、教学过程1．创设现实情境，引入新课教师用多媒体演示：如图3-1，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？图3-1[生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上．[师]同学们认同他的看法吗？[生]认同．[师]认为对的说说你的理由是什么呢？[生](回忆定理)我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河

3、岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．[师]这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？教师演示线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．讲述新课【第一部分】线段垂直平分线的性质定理．[师]我们得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何

4、证明呢？[师](引导)问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？(强调)我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．(开始让学生有这样的数学思想)②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？③谁能帮老师分析一下证明思路？[生](思考回答)[师生共析]已知：如图3-2，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．求证：PA＝PB．图3-2分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∵AC＝BC

5、，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．【第二部分】线段垂直平分线的判定定理．教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？[师](引导、并提问两学生)问题二：①这个命题是否属于“如果……，那么……”的形式？②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……，那么……”的形式吗？③最后再把它的逆命题写出来.[生A](思考分析)原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．[生B]如果有一个

6、点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．[师]很好，能否把它描述得更简捷呢？[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．[师]非常好！当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．若为真，则需证明它；若为假，则需用反例说明．请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证．(给学生思考时间)已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．求证：点P在AB的垂直平分线上．(分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程)[师]看学生的具体情况，做适当的引导．证明：（证法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，如图3-3．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt

7、△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即点P在AB的垂直平分线上．图3-3（证法二）取AB的中点C，过PC作直线，如图3-4．∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．∴点P在AB的垂直平分线上．图3-4（证法三）过P点作∠APB的角平分线，如图3-5．∵AP＝