第4章判别剖析

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1、第5章判别分析木章提要我们常需要根据个体的某些特征或指标來判别其属于已知的某几个类中的哪一类，例如在环境调查屮我们需要测定某个水样的多项指标，据以判断是屈于严重污染、轻度污染抑或是无污染水体；在地质工作中，我们要根据出石的某些特征，如密度、各种常量和微量元素的含量来判断其岩石类型，判断是含矿岩体和非含矿岩体；页生则要根据病人的各种检测结果来判断其病人得了何种疾病。在第2章中我们已讨论了个体(样品)的分类问题，称为Q型聚类分析，在那里我们是根据个体间特征(多项指标值)的相似程度性程度加以归类。而判别分析是已知存在若类，已知有g个类(统计学上称总体或母体)G「k=

2、,2,...,g。在已知的这g个类中分别采g个样木5.1距离判别先考虑两个总体的情况。设有两个协方差阵相同的正态总体6和G2,它们的分布分别是N卩肿,V)和⑵,V)。对给定的一个样木y,要判断它属于哪个总体，一个直观的想法是计算y到两个总体的距离d(”G[)、d(y,G2),并按下面的规则进行判别：如ywG],d(y,G])

3、W*⑵+”2)d2(y9G[)-d2(y,G2)=y,Vy-2y,V-}^+A(1)厂“⑴厂“⑵=2/V-1(w⑵一“⑴)+“⑴卩-1“⑴-“⑵厂】“⑵=2/厂(“⑵一“⑴)+(“⑴+“(2))1%⑴-“⑵)=冷一〃⑴;〃⑵卜％—⑵)7JF=(“°)+“d))/2(5.2)(5.3)W(刃=(y_0yT(”l)_“⑵)则判别规则(5.1河写成ywG

4、,VW(y)>0ygG2,VW(y)<0我们可以通过考察p=的简单情形来阐明距离判別的意义。当p=时，两母体的分布为竹（“⑴,即）和Np（“⑵,即），"T=-L,cr_W（y）=（y-“⑴：“⑵），A（“⑴-

5、“⑵）2cr-不妨设“⑴<“⑵，这时肌刃的符号取决于y>歹还是y见图5.1o从图屮我们可以看到，〜（1）这种判断规则是符合习惯的。（2）若样甜落在两母体分布的重合部分，即图5.1中的阴影部分，则可能产生误判。图4.1卩=1的两类母体的马氏距离判别（3）如果两母体靠得很近，即统计特征很接近，则无论采用何种方法，误判的概率均很大；只有当两母体的均值有显著差异时作判别分析才有意义。（4）以上判别规则未涉及母体分布的类型，而只要二阶矩存在口相等就行了。实际计算屮，母体的均值向量和协方差矩阵可用样木均值和样木协方差估计，判别函数

6、成为W(y)=(y-丘⑴+丘⑵)x(1)=>>'丄養⑴、Ml/=!y)2V-1=——-——仏）山+“2-217?]+川2一2"1、、、工(兀⑴-=))(")-疋))+；1VJikk戶17”2⑵-护））k=—!—（S1+S2）勺+“2一2它们的均值和协方差阵距离判別也可用于多母体的情况。设有g个母体Gk,日,2,…,g,分别是“⑴，“⑵V（,）=V⑵二…二这时判别函数为wkl（y）=（y-严fv-1（“⑹—“⑴）而其判别准则为$5,如果对于一切的心£均有Wkl>0,日，2,…,g。距离判别的Matlab程序列于图文框5.1。5.2费歇尔准则下的两类判别费歇尔的

7、判别方法，其基木思想是把P个变量"，疋，…，勺综合成一个新变iiy,y=CjX]+（?2兀2+・・・c°Xp=ex（5」）图文框4.1距离判別的Matlab函数functionclass=classify(sample,training,group)%马氏距离判别分析%i周用方式：class=classify(sample,training,group)%对待判样品数据矩阵sample中的每一行(即每个样品)%向量group为1到已知母体数(正文中为今)的正整数序列，对应于训练数据矩阵training%(即己知各少体的抽样数据)中各行所展的类序号，因此向量gr

8、oup的长度必须等于矩阵%training行数%矩阵sample和矩阵traning的列数必须相等，即变量数相等。[grzgc]=size(group);ifmin(gr,gc)~=1error(，第3个参数必须是向量而非矩阵，);endifgc~=1,group=group(:);gr=gc;endifany(group-round(group))Iany(group<1)error(，第3个参数的向量元索必须为止整数冷;endmaxg=max(group);%类数[trztc]=size(training);iftr~=gr,error(*箱2个参数与第3

9、参数的行数必须相等');end[srf