初高中数学衔接知识点的专题强化训练：专题二因式分解

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1、★专题二因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形屮起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.1.公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：;[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：.[4]（a+/?+c）2=⑸/+/=（立方和公式）[6]a3-b3=（立方差公式）由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过來写，运用上述

2、公式对以进行因式分解.2.分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如ma+mb+na+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3.十字相乘法<1）x2+（p+（?）%+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之枳；③一次项系数是常数项的两个因数之和.Tx2+（/?+q）x+pq=x2+px^q

3、x+pq=x（x+〃）+q（x+p）=（x+〃）（无+q），/>/•x+（/?+g）x+#q=（兀+/?）（兀+q）运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.（2）一般二次三项式o?+加+c型的因式分解rfla}a2x2+（^c2+a2c}）x+qc2=（QiX+qXwx+c?）我们发现，二次项系数a分解成坷色，常数项c分解成g,把4卫2心心写成；：汽,这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到如果它正好等于cu2+bx+c的一次项系数b,那么ax1+bx+c就可以分解成（«1x+c1）（6Z2x+c2）,其屮位于上一行，a?，：位于下一行.这种借助画十字交

4、叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能悄况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.1.其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法【例题选讲】（公式法）分解因式：（1）3^/7-81/?4；(2)a1-ab6(2)2x2+4xy+2y2-8z2⑵x2-2x-5例2（分组分解法）分解因式：（1）ab^-d^-^-b^cd例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：（1）x2+5x-24(3)x2-}-xy-6y2(x2+x)~—8(x~+兀)+12解：(

5、1)・••-24=(-3)x8,(-3)+8=5/.x2+5x-24=[x+(-3)](x+8)=(x-3)(x+8)(2)*.*-15=(-5)x3,(-5)+3=-2-2x-15=[x+(-5)](兀+3)=(x-5)(x+3)(3)分析：把F+可,_6長看成兀的二次三项式，这时常数项是-6才,一次项系数是y，把-6尸分解成3y与-2y的积，而3y+(-2刃=厂正好是一次项系数.解：x1+xy-6y2=x2+yx-62=(x+3y)(x-2y)(4)由换元思想，只要把x2+%整体看作一个字母a,可不必写岀，只当作分解二次三项式CT—Sd+12.解：(x2+x)2-

6、8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+兀一2)=(兀+3)(兀一2)(兀+2)(兀一1)例4(十字相乘法)把下列各式因式分解：⑴12x2-5x-2；(2)5x2+6xy-8y2解：(1)12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1)汉；I2T(2)5/+6xy-8才=(x+2y)(5x-4y)5^-4_y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较怵1难，具体分解时，为提高速度，可先対有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.例5(拆项法)分解因式x3

7、-3x2+4【巩固练习】1.把下列各式分解因式:(3)F+64(4)x3-11x2+31x-21x3-4xy2-2x2y-^Sy322已矶+"腐"’求代数式丹+2柑+掳的值.，请你选择其中两个进行加法运算,3-现给出三个多项式，討+-1,存+3卄1,lx2-x并把结果因式分解.4・已知d+/?+c=O,求证：a3+a2cb2c-abc+b3=0.专题二因式分解答案例1分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现泸_沪，可看着是(MF-(沪尸或(亍)3一@2)3.解：⑴30%—81戻=3/?(/-27戾)=3方@一3/?)