拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

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1、第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析4-1拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的特点求解微分方程的步骤得到简化，同时可给出微分方程的特解和齐次解；将微分方程转换为代数方程；指数函数、超越函数等经拉普拉斯变换可转换为简单的初等函数；将两函数在时域中的卷积转换为变换域的乘积，建立了系统函数概念；利用系统函数令、极点分布可以简明直观地表达系统的性能和许多规律。二、问题的提出1付里叶变换由付里叶变换存在条件可知，绝对可积条件较强，许多函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线性函数等。2拉普拉斯变换三、定义单边拉氏变换当f(t)为有始函数时，即t＜0时f(t)=0称作拉普拉斯逆变换则四

2、、拉氏变换的存在定理及收敛域1.定理：若函数满足下列条件1)在t≥0的任意有限区间上分段连续；2)当t∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M＞0及（指数阶的），使成立，则f(t)的拉氏变换为F(s)的拉氏逆变换为记为五、一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数3.tn（n是正整数）4.冲击函数5.正弦函数4-2拉氏变换的基本性质一、线性：例1:求双曲函数的象函数二、尺度变换三、时移（延时）特性例：求矩形脉冲延时特性说明：注：零点、极点相抵消，为不可观测状态。例：其中s=-1为不可观测状态。四、复频移特性五、时域微分（微分定理）例1：六、时域积分（积分定理）例：求

3、如图所示三角形脉冲的象函数。解：七、卷积定理（求解微分方程）1.时域卷积2.频域卷积（时域相乘）例1:求周期信号f(t)的拉氏变换公式，即例2：卷积定理的重要应用之一是求解微分方程。设描述线性非时变系统的微分方程为八、初值定理和终值定理初值和终值定理常常用于直接由F(s)求得f(0+)和f(∞)的值而不必求出原函数f(t)。1.初值定理2.终值定理例1：如时间函数f(t)的象函数为试求其原函数的初值和终值。例2：如时间函数f(t)的象函数为试求其原函数的初值和终值。F(s)的原函数为4-3拉普拉斯逆变换（单边拉氏变换）上述积分，原则上应在收敛域内进行。即，积分路线是横坐标为σ平行于纵轴

4、的直线（从-j∞到+j∞)。实际上积分路线可视为适当的闭合路径，用留数定理求得原函数。求拉氏逆变换有三种方法：1)逆变换表方法（查表法）：直接利用拉氏逆变换表求出原函数。此方法简单。注：只适应于有理分式。2)部分分式展开法：将F(s)展开为部分分式，然后求得原函数。注：适用于有理分式的一般情况。3)反演积分法：直接利用求原函数，应用该方法时，大多数利用留数定理计算较为方便。注：适应于求拉氏逆变换的任何情况，尤其是F(s)为非有理分式和未列在变换表中的情况。一、有理分式一个有理分式F(s)它可表示为两个s多项式之比，即其中分子、分母多项式的系数ai、bi均为实数。1、部分分式分解1)有理

5、真分式：2)当m≥n时例：注：P(s)是s的n次多项式，即所以，多项式P(s)的拉氏变换由冲击函数及各阶导数组成。因而我们主要讨论有理真分式的情况。二、查表法—适合于求拉氏逆变换的表。步骤：1)求分母多项式A(s)=0的根（即求其极点），也就是将分母多项式分解因式；2)有复数根时，可写成的形式；3)查表求得原函数；4)化简。例1：求例2：三、部分分式展开：步骤：1)求分母多项式A(s)=0的根，其中s1,s2,…..sn为F(s)的极点2)化简。1、f(s)有单极点例：例2：2、F(s)有共轭单极点例：3、F(s)有重极点若s1是A(s)的一个r阶极点，另外的（n-r）个极点是单极点，

6、则由4、对A(s)有复重根，可以用类似于单根的方法，先求出在利用共轭单极点求出f(t)。四、反演积分计算该复变函数积分通常比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以利用留数定理来计算此积分。1、留数定理若函数G(s)在闭区域中，除有限个极点外处处解析，则函数沿此区域边界线的积分等于2πj乘以函数在这些极点的留数之和即注：此闭合曲线L:1)包含G(s)中所有极点；2)此曲线必须在G(s)的闭区域中。为能应用留数定理，在积分路径AB上补充一条路径C，以使整个积分路线构成闭合曲线。从而根据留数定理有2、约当（Jordan）引理3、定理4、留数例：4－4连续时间系统的s域分析用拉氏变换求解线性

7、微分方程的主要优点：1)求解步骤简明而有规律，其初始状态已自然地包含在象方程中，可直接求得方程的全解；2)拉氏变换将微分方程、积分方程变换为代数方程，因而求解方便，对于求解微分方程组更为有利；3)在分析线性网络问题时，甚至不必列出微分方程，只要利用元件的s域模型，就可列出象函数方程。一、微分方程的变换解建立系统的微分方程，用s域方法求解—数学变换法例：如图所示电路起始状态为0，t=0时接入直流电源E，求电流i(t)的波形。为讨论方便，令讨论：1