数学建模 几个模型

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1、问题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo••1实物交换xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1,p2对甲是无差别的，MN将所有与p1,p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN,线上各

2、点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：单调减(x增加,y减小)下凸(凸向原点)互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的y换取较少的x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的y。甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度（f~等满意度曲线）xyOg(x,y)=c2c2乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）双方的交换路径x

3、yyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的无差别曲线族g=c2(坐标系x’O’y’,且反向）甲的无差别曲线族f=c1ABpP’双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上因为在AB外的任一点p’,(双方)满意度低于AB上的点p两族曲线切点连线记作ABABp交换方案的进一步确定交换方案~交换后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形内任一点交换路径AB双方的无差别曲线族等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线CDAB与CD的交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+b

4、y=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(

5、10)=660>640g=0.1敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。rt敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g变化时对模型结果的影响设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。gt强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）每天利

6、润的增值每天投入的资金3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t2

7、0tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释/