牛吃草问题概念与公式

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1、牛吃草问题概念及公式　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰　　1)设定一头牛一天吃草量为“1”　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数

2、－草的生长速度）；　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进

3、而解答题总所求的问题。　　这类问题的基本数量关系是：　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。　　　　【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？　　A.3B.4C.5D.6　　【名师姚璐答案】C　　设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天　　根据核心公式代入　　(200-150)/(20-10)=510*20-5*20=100100/(25-5)=5(天）　　例2】有一块牧场，

4、可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？　　A.20B.25C.30D.35　　【案】C　　【解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，　　根据核心公式代入　　(20×10-15×10)=510×20-5×20=100100÷4+5=30(头）　　5【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？　　A.50B.46C.38D.35　　【答案】D　　【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y，24天内吃尽40公亩牧场

5、的草，需要Z头牛　　、根据核心公式：　　，代入　　，因此，选择D　　【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。【例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】　　A.16B.20C.24D.28　　【名师姚璐答案】C　　【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y小时　　有恒等式：　　解，得，代入恒等式　　【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？

6、（假定野果生长的速度不变）、　　A.2周B.3周C.4周D.5周　　【答案】C　　设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完　　有恒等式：　　解，得，代入恒等式　　【例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】　　A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时　　【璐答案】D　　【解析】设共需X小时就无人排队了。例题　　　1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定

7、速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数　　设一个检票口一分钟一个人　　1个检票口30分钟30个人　　2个检票口10分钟20个人　　(30-20)÷(30-10)=0.5个人　　原有1×30-30×0.5=15人　　或2×10-10×0.5=15人5　　2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃