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1、浅析BCH码的编码方法o引言数字信号在传输系统中传输时，不免会受到各种因索的干扰，使到达按收端的数字信号中混有噪声，从而引发错误判决。为了抗击传输过程中的干扰.必然要利用纠错码的差错控制技术。BCH码是纠错码中垠垂要的子类，其具有纠错能力臥构造方便,编码简单,1BCH码BCH码是1959译码也较易实现-•系列优点，在宾际应用中被工程人员广泛应用°门Ii:.昆格御(Hocqucnghcm).1960年由博斯(Bose)和食嗯胡里(Chandhari)各自提出的纠多个随机错误的循环码,这是迄今为止发现的最好的线性分组码之-，它有严格的代数结构,它的纠错能力很强,待别是在短和中尊码长下,其性能接近理
2、论值,并且构造方便编码简单,特别是它具有严格的代数结构,因此它在编码理论中起若重要的作用.RCTI码足迄今为止研究的最为详尽丫分析得帛为渣彻，取得成果也最多的码类之一。该码的生成多顶式与堰小距离d之间有密切关系•根据<1的要求可以很容易地构造出码.利用该码的代数结构产生了多种译码方法.BCH糾可以采用杳表编码方法，这是一种利用BCH码作为线性分级码和循坏码的性质和结构特点來编写編码•农,然后通过查表來編码的一种方法，也可以采用編码器进行編码,还可以应用代数彈法，在本文将分别介绍这些尊法.2BCH码的打一比级编码瓣S，k)BCH码是一类循坏码，它的编码M2、和传统的循吓码完全郴同，根抓循吓码的生
3、成多项式g(x)或校验多项式〃(x),可推出BCH码的編码电賂肚一个n-k级或斤级移存器电路,在k>n-k时,一般采用n-k级编码电路。用于产生系统码n-k级编码器的原理这样的：将倍息彭项式加(x)乘以£&成为a'；w(.v)t然后用£(x)除X”'加(X)得fj余式/(-Y),厂(X)的系数祖是校躲位，因此这;U以图I移位寄存狂缩码电路3BCH码的代效編码（1）共辆和最小多顶式如來将研（2*）看成是GF（2）的一个加阶扩展，则映射a->a‘称为共紙共辄是线性的，即彰仏+对二/+矿⑴Q的共馳类是序列a,a2.a2：,*中取值不同的元聚.因此，如果*是满足口“的加小整数，则"的共辄类是包拈&.夕
4、,・・・4»}・这里点是称为a的阶数：由此可知&是加的因子，并且«eGF（24）f而不能属于其他任何一个更小的域。a的放小多顶式为系数«IGF（2）,阶数蚁低、首顶系数为1II滿足7^）=0的多顶式/（X）。/⑴在GF（2）上是不可约的，但在更人的城GF（2W）中・/（x）可以进行线性因式分解:f（x）=（x-a）（x-a2y（x-a2i）（2）如果a兄GF（2”）中的一个本总根，ttija的放小箔项式称为GF（2）上的本原彩项式°利用本原多项犬可以来构适域，通过査表可以发«./（a）=x4+x+l是GF⑵上的一个本驗多顶式“即/（“）址GF（16）中一个本驗根的呈小多项式•通过反复利用等式=
5、rr+l,可以将每个算刃农示为a的个次数£3的多项式。例如：（/'/+/+"可以得出表表（1）将GF（16）表示为a的霜，其中a“=a+lcTru■f(J0001100102010031000400115011061100710118010191010KJ0111®11111012mi131101141001同理:/(x)=x3+a+1是GF⑻上一个本原根的星小多顶式.反芟应用等式a5=a+h可以将每个慕刃表示为仅的一个次数M2的彩顶式。例如：a5=as+a2,可以得出表(2)：表⑵GF⑻中a的冨.其中c'=a+lfIaf0001101021003Oil411051116101(2)BCH码生
6、成务项式&(X)的求法U毎个BCH码都以它的生成多顶式g(.V)为特征。根据生成多项式的定义知道£(X)是码屮次数赧低的码多顶武，即满足g(a)=g(a')=・・・=)=o的眼低次形项式。g(x)的系数在GF⑴中.但址m不同次数的恥在更大的域（沪（2：）中.根抑:BCH码的定义.£（兀）若以GF（2：）中的元素珂a为厂-1级元索）为抿，」L海（丫）=叫（册］（入）…w2f_,（a）⑶•兀中叫（厲估（“…勸分别为久al…,任GF（2）」：的皿小影顶式。mx}{GF⑵上是不可约多顶式，但是在更人的域GF（2“'）中可以分解为：w/（x）=（x-a）（x-a2）---（v-a2K）⑷因此.只⑴
7、足GF（2”）的子集月二…,□"'}任GF⑵上的眾小芬顶式的集积•所以，如果定义彳中元素的共傀为昇・=3丫://eA/>Op那么f（x）可以表示为：曲卜口（x-0）⑸即上述文字可以用如下结论总结：结论_：码长为刀的纠正f个蜡误的BCH码,生成多顶式由式（1）给出。而码的维数为—dcg（£）,即M中f是GF（2m）中畀=a^}的GF（2卜共犯的集合.（3）利用归纳法验证结论一所描述的求生成多项式方法
