反比例函数运用中的数学建模

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1、反比例函数应用中的数学建模教学目标：①使学生了解反比例函数是日常生活和生产实际中应用十分广泛的数学模型②初步养成自己提出或构建数学模型的能力；③提高综合运用函数、方程等知识解决实际问题的能力。④通过开放性的问题，培养学生的发散思维能力。教学重难点：从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，研究数学模型，用数学模型去解决实际问题。教学过程：一、引入：现在正值秋冬季节，昼夜温差很大，病毒性感冒开始流行。学校为了预防感冒，到药厂采购了一批药物和熏蒸设备，对全校所有的教室进行消毒。根据药物使用说明，该药需要在一

2、个密闭的空间内熏蒸一段时间，才能发挥药效，有效杀灭病菌。二、提出问题：为了掌握这种药物在每个教室的熏蒸时间，确保消毒的有效性和安全性，老师先选一个教室进行20分钟的熏蒸实验，20分钟后停止熏蒸，教室保持密闭，让药物作用一段时间，并实时记录实验数据。实验数据如下：时间x（单位：分钟）02…18202425…3050…每立方米空气含药量y（单位：毫克）01.5…13.51512.512…106…三、问题探究：（一）根据实验数据，探索药物熏蒸过程中，和熏蒸结束后，实验时间x（单位：分钟）与室内每立方米空气中含

3、药量y（单位：毫克）之间的关系。老师：大家思考下，拿着这些数据，我们应该怎么办？有想法的同学就跟我说下。（描点，连线）根据图像发现，20分钟前的图像近似于一条直线，而20分钟后的图像近似于一条曲线。（1）利用20分钟前的数据，推算直线的函数解析式，为，并把其他的数据代入检验，最终确定，20分钟前的y与x的函数关系式为（2）根据20分钟后的图像，猜想曲线所反映的函数的类型：双曲线的一部分，或者抛物线的一部分。让学生讨论发言，引导学生答出双曲线和抛物线的一部分这两种答案。把班里同学分两组，第一、三组推算并检

4、验是否是反比例函数，第二组推算并检验是否是二次函数。第一、三组让学生自由发挥，算出反比例函数关系式，并将其他点代入检验；第二组的引导学生选择合适的点进行计算，如（20，15）、（30，10）、（50，6）可算出函数为，并选一两个点代入检验，确定不满足函数关系式，最终得到图像并非抛物线一部分，而是双曲线的结论。根据猜想、推算并检验可以得到结论：20分钟后y与x可以看成一个反比例函数，函数关系式为其实，在通常情况下，如果两个变量的乘积是一个非零的常数，那么我们可以猜想这两个变量满足反比例函数关系，然后利用数

5、据进行检验，验证我们的猜想。（1）最终得出结论，在药物熏蒸的过程中和药物熏蒸结束后，y与x的函数关系式为：我们在处理实际问题的时候，一般都是要先根据问题实际和数据关系先得到一个猜想，然后进行推理，验证我们的猜想，最后验证我们的猜想，确定函数关系。（二）药物的外包装袋上附有如下使用注意事项：（1）根据药物使用注意事项，则药物熏蒸开始后，教室至少多长时间开放让同学们进入比较安全？解：取中y=5得x=60.则药物熏蒸开始后，教室至少60分钟后才能安全开放。让学生独立思考并计算，请一个同学上讲台演示（1）根据药

6、物使用注意事项，此次熏蒸实验是否有效？为什么？让学生独立思考并计算，请一个同学上讲台演示解：取中y=12，得；取中y=12，得；∵25-16=9＜20∴此次熏蒸实验无效。（三）若不管熏蒸多长时间，熏蒸时，室内每立方米空气中含药量y与实验时间x都成正比例上升，熏蒸结束后，室内每立方米空气中含药量y毫克与实验时间x分钟都呈反比例下降，应该如何改进实验，使得实验有效？（四）至少要熏蒸多长时间才能有效杀灭空气中的病菌？给学生时间思考、讨论和计算，请一两个学生讲思路，老师在讲台上引导并板书步骤。在问题一的图像上继

7、续画图。解：由上述分析可得，药物熏蒸开始后第16分钟，y=12毫克∵至少要保持y≥12毫克不少于20分钟才能有效杀灭病菌∴药物熏蒸结束后，y与x的反比例函数图像经过点（36，12）即可满足要求∴熏蒸结束后y与x的函数关系为由解得(不合题意，舍去)∴至少要要熏蒸24分钟才能有效杀灭室内空气中的病菌。（五）这种情况下，药物熏蒸开始后教室至少要多久开放让同学们进入比较安全？（结果保留整数）让学生独立计算，叫一个学生上讲台演示解：取中y=5，得x=86.4≈87分钟∴药物熏蒸开始后，教室至少要87分钟后才能开放

8、让同学们进入。（六）在实际操作中，药物熏蒸的时间可以适当的延长，保证药效的充分发挥，这时，药物熏蒸的时间t（单位：分钟）和药物熏蒸开始后到能安全开放让同学们进入所需的最少时间T（单位：分钟）有什么样的函数关系？给学生时间思考、讨论和计算，请一两个学生讲思路，老师在讲台上引导并板书步骤。解：当药物熏蒸的时间为t分钟，此时每立方米空气中的含药量为，则药物熏蒸结束后y与x的函数关系式为取y=5得∴药物熏蒸开始后到能安全开放让同学们进入所需的最少时