《勾股定理的探索与证明》

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1、《勾股定理的探索与证明》教学设计一、教材分析（一）教材的地位和作用《勾股定理》是人教版《数学》八年级下册第十七章第一节的内容，它是初等几何中最重要的定理之一.它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的一条非常重要的性质.它可以用来解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在实际生活中用途很广.不仅在数学中，而且在其它学科中也有着广泛而重要的应用.（二）目标分析数学课程标准：探索勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。目标解读：（1）学生能够用语言（图形、符号）描述勾股定理的内容，能够证明勾股定理（2）能运用勾

2、股定理解决一些简单的实际问题。（三）教学重点与难点教学重点：勾股定理的探索与证明。教学难点：通过面积法来证明勾股定理。二学情分析(1)学生特点分析：初二学生思维活跃，喜欢动手操作，逻辑思维有所发展但水平不高。（2）任务起点分析：学生已具备一些平面几何的知识，学习了直角三角形、正方形以及长方形的性质与面积公式，能对直观图形寻找等量关系和进行简单的逻辑推理。[三教法学法分析（一）教学方法引导发现法、直观教学法（二）学习方法小组合作交流．（三）教学工具学生准备四个全等的直角三角形+多媒体辅助教学．教学活动过程活动一：创设情境，导入新课某楼房三楼失火，消防队

3、员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来66.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？师生活动：老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题。从而引入课题[设计意图]创设问题情境，激发学生的求知欲，学生感受到“数学来源于生活，服务于生活”。活动二：实验发现，猜想定理1.探究特殊的直角三角形入手（等腰直角三角形）观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2正方形Ⅰ的面积（单位面积）正方形Ⅱ的面积（单位面积）正方形Ⅲ的面积（单位面积）图1图2思考

4、：（1）你发现了三个正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之间有什么关系吗？（2）你发现了等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？2.从特殊到一般由上面你得到的结论，我们自然联想到：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）图3图46正方形Ⅰ的面积（单位面积）正方形Ⅱ的面积（单位面积）正方形Ⅲ的面积（单位面积）图3图4思考：（1）你发现了三个正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之间有什么关系吗？（2）你发现了一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？由上面的例子，学生经过讨论可以得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

5、命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2[设计意图]学生通过合作交流，归纳出勾股定理的雏形，探究活动开始是用具体的数字来表示边长，当得到一定结论后，将数字换成字母，呈现了特殊到一般的过程，同时也是培养学生数感，符号观念的必要过程。活动三：实验演示，验证结论教师利用几何画板验证猜想，引导学生认识结论成立的条件以及结论的普遍性。教师板书课题。问题组1.当角C为多少度时，结论成立？2.当角C为90度时，结论一定成立吗？[设计意图]强调结论成立的条件是直角三角形，体会实验验证方法，领悟事物千变万化但本质不变的认识观。活

6、动四：深入探究，证明定理教师展示2002年数学家大会的会标，请同学们利用手中的全等直角三角形拼出会徽，讲解会标的图形特点，启发学生思考图形中的等量关系，证明勾股定理。（板书推理）问题组1.它是由什么基本图形构成的？62.你能用、、三个字母将图形的所有线段都表示出来吗？3.你能在这幅图中找出怎样的等量关系？4.利用等量关系你又能得到什么结论？（板书推理）4Ｓ△　+　S小正方形　=　S大正方形命题1的证明方法有多种：我国古人赵爽的证法，利用“赵爽弦图”证明.（图一）我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因

7、此就把命题1称为勾股定理.勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2数学语言：∵△ABC为直角三角形∴AC2+BC2=AB2.（或a2+b2=c2）[设计意图]从弦图会徽入手，引导学生动手操作，通过拼图结合面积法进行证明，以问题为中心，以解决问题为主线展开，让学生观察分析、推理论证等学习活动，突破教学难点。活动五：问题解决，巩固应用例题1：让学生解决开头情景中的问题。某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭

8、火？巩固练习：1.求下列直角三角形中未知边的长。62．一旗杆离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，求旗杆折