几个题目分析

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1、几个题目分析案例仁农场与牛。农夫在一片长满草的大草原农场中央建了一间边长为5米的牛棚（假设牛棚部分没有草〉，农夫在一个墙角拴了一头牛，如果绳子长12米，若绳子可自由弯曲，请问牛一共可吃多少面积的草？问题1:请问下列哪一个图是正确的？问题2:请问牛吃了多少面积的草地？（A）约452平方米；（B）约427平方米；（C）约416平方米；（D）少于413平方米（选自林福来主编台湾2011数学素养评量样本试题）(B)应当说，这是一个考察数学素养比较好的题冃，要用数学知识并根据学生的生活经验去解决现实生活中的问题。但是，考察知识的创新方面显得不足。下面我们

2、对此题以知识理解、知识迁移、知识创新为目标进行改造，并分析所考察的数学核心素养水平。首先，该题的知识理解部分比较简单，只需学生掌握圆面积公式，会运用这个公式解决问题。问题1属于知识的迁移，问题2属于知识理解。增加一个问题3,可以考察学生的知识创新。问题3:在解决了这个问题之后，你能否把得到的结论作一般化处理；或者由这个问题提出一些新的问题，并解决你提出的一个问题。（要对问题作一般化处理，需要把具体数字用字母替代，得到解决这个问题的一般化结论。要提岀新的问题，可以从牛棚的形状的变化来考虑，譬如改为长方形，菱形，圆等；可以从绳子的长度与牛棚的边长变

3、化来考虑；从在牛棚上栓牛的位置变化来考虑；从草地上可能存在障碍物来考虑等。）经过改造，三个问题主要考察知识理解、知识迁移、知识创新三种水平。测查的数学核心素养主要包括：数学抽象：问题1：把一个现实问题抽象为一个数学问题，二级水平。问题3：把问题推广引申，三级水平。逻辑推理：问题2：将圆面积公式用于具体计算，一级水平。问题3：选择不同公式的灵活运用，二级水平。数学运算：问题2：简单的公式计算，一级水平。问题3：简单的公式计算,一级水平。直观想象：问题通过观察图形，结合生活经验抽象岀问题的数量关系，利用图形探索数学问题，二级水平。问题3：能够进行图

4、形变式提出新的问题，三级水平。表1案例1考察数学关键能力分布情况关键能力数学抽象逻辑推理直观想象数学运算水平一一二一一二一一三一一—三问题1V问题2V问题3VV案例2:两个厚度相同的圆饼，一个半径为10cm,售价为3元，另一个半径为15cm,售价为4元，问买哪一种饼更划算？这是一个现实生活中的问题，考察学生能否用圆面积公式迁移到现实情境中去解决问题，所用到的知识点很少，是考察学生数学关键能力的二级水平题目。将这个题目进行改造，可以体现考察核心素养的三种水平。1.在学习了圆的面积公式S二兀X之后，要学生求一个给出已知半径的圆的面积或已知面积求圆的

5、半径。2.上面的案例lo3.由上面的问题，你还能联到什么问题？请提出一个问题并解决这个问题。（学生可能会想到：（1）两个厚度相同的圆饼，第一种饼的半径为7?厘米，售价为兀元，第二种饼半径为厂厘米，售价为y元，在什么条件下买第一种饼划算，什么条件下买第二种饼划算？（2）将圆的问题推广到正方形、长方形、正六边形等问题中去。（3）将不同形状的饼作比较研究。等等）对题目考察学生关键能力作分析。数学抽象：第2题，二级水平。第3题，三级水平。逻辑推理：第1题，一级水平。第2题，一级水平。第3题，三级水平。数学运算：第1题，一级水平。第2题，一级水平。第3题

6、，二级水平。第2题把一个现实问题抽象为一个数学问题，涉及数学抽象、数学运算、逻辑推理，数学抽象是二级水平，数学运算和逻辑推理是一级水平。第3题是把问题推广引申，考察学生联想、类比、归纳等合情推理进而提出问题的能力，涉及数学抽彖、逻辑推理、数学运算，其中数学抽彖是三级水平，逻辑推理是三级水平，数学运算是二级水平。表2表达了这道题目的考察意图（也可以用雷达图表示）。表2案例2考察数学关键能力分布情况关键能力数学抽象逻辑推理数学运算水平一二三一二三一二三题目1VV题目2VVV题目3V案例3:现在我们定义两种运算“沖和“&”，对于任意两个整数a,b,有

7、a*b=cr+b?,a®b=2abo1.因式分解::2.验证这两种运算满足交换律，即a^b=b^a,a®b=b®a:3•如果要使结合律成立，即（a^b）®c=a^（b®c）,那么a,h,c之间要满足什么条件？4•请你自己用代数式定义这两种运算，使得结合律恒成立。核心素养：逻辑推理：第1题一级水平；第2题一级水平；第3题二级水平；第4题三级水平。数学抽象：第1题一级水平；第2题一级水平；第3题二级水平；第4题三级水平。表3案例3考察数学关键能力分布情况关键能力数学抽象逻辑推理水平一二三一二三第1题VV第2题VV第3题V第4题V1.勾股定理，轴对称

8、图形问题(1)以RtAABC的三边为边长的三个止方形的面积之间有什么关系？请说明理由。(2)以RtAABC的三边为边长的三个等边三角形的面积之间有什么