23.2《关于原点对称点的坐标特点》

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1、关于原点对称的点的坐标教学目标知识技能:理解P与点P′点关于原点对称时,它们的横纵坐标的关系,掌握P(x,y)关于原点的对称点为P′(－x,－y)的运用.通过复习轴对称、旋转,尤其是中心对称,使知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用.数学思考:通过P(x,y)关于原点的对称点为P′(－x,－y)的运用.进一步发展学生分析理解能力.解决问题:发展学生的观察、比较、分析能力,让学生关注生活,积累一定的知识运用的体验.情感态度:让学生体验到数学与生活的紧密联系,激发学习愿望,主动参与数学学习活动.教学重点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点P′(－

2、x,－y)及其运用.教学难点:运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题.教学内容:课本第66页至67页.教学过程设计活动-.动手操作,探索新知1.问题.如下左图,在直角坐标系中,已知A(－3,1)、B(－4,0)、C(0,3)、D(2,2)、E(3,－3)、F(－2,－2),作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点,并写出它们的坐标,并回答:这些坐标与已知点的坐标有什么关系？画法:(1)连结AO并延长AO.(2)在射线AO上截取OA′=OA.(3)过A作AD′⊥x轴于D′点,过A′作A′D″⊥x轴于点D″.∵△AD′O与△A′D″O全等∴AD′=A

3、′D″,OA=OA′∴A′(3,－1)同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标.2.分组讨论:讨论的内容:关于原点作中心对称时,①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？3.由同学口述上面的问题.4.教师引导学生得出:(1)从上可知,横坐标与横坐标的绝对值相等,纵坐标与纵坐标的绝对值相等.(2)坐标符号相反,即设P(x,y)关于原点O的对称点P′(－x,－y).·EF·5.归纳:两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反.即点P(x,y)关于原点O的对称点的坐标是P′(－x,－y).活动三,知识应用,例题解析.

4、例1.如上中图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与线段AB关于原点对称的图形.分析:要作出线段AB关于原点的对称线段,只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可.解:∵点P(x,y)关于原点的对称点为P′(－x,－y),∴线段AB的两个端点A(0,－1),B(3,0)关于原点的对称点分别为A′(1,0),B(－3,0).连结A′B′.即可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.例2.已知△ABC,A(1,2),B(－1,3),C(－2,4)利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出△ABC关于原点对称的图形.分析:先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC,要作出△AB

5、C关于原点O的对称三角形,只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点,依次连结,便可得到所求作的△A′B′C′.例3.如上右图,直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点,将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1.(1)在图中画出直线A1B1.(2)求出线段A1B1中点的反比例函数解析式.(3)是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b(我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等)它与双曲线只有一个交点,若存在,求此直线的函数解析式,若不存在,请说明理由.分析:(1)只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1,连结A1B1.(2)先求出A1B1中点的坐标,设反

6、比例函数解析式为y=代入求k.(3)要回答是否存在,如果你判断存在,只需找出即可；如果不存在,才加予说明.这一条直线是存在的,因此A1B1与双曲线是相切的,只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2,连结A2B2的直线就是我们所求的直线.解:(1)分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1(1,0),B1(2,0),连结A1B1,那么直线A1B1就是所求的.(2)∵A1B1的中点坐标是(1,).设所求的反比例函数为y=.则=,k=∴所求的反比例函数解析式为y=(3)存在.∵设A1B1:y=k′x+b′过点A1(0,1),B1(2,0)∴∴∴y=－x+1把线段

7、A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线.根据点P(x,y)关于原点的对称点P′(－x,－y)得:A1(0,1),B1(2,0)关于原点的对称点分别为A2(0,－1),B2(－2,0).∵A2B2:y=kx+b∴∴A2B2:y=－x－1下面证明y=－x－1与双曲线y=相切.－x－1=x+2=－x2+2x+1=0,b2－4ac=4－4×1×1=0∴直线y=－x－1与y=相切∵A1B1与A2B2的斜率k相等∴A2