阶跃函数和冲激函数简介及简单应用

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1、阶跃函数冲激函数是两个典型的奇异函数。阶跃序列和单位样值序列§1.4阶跃函数和冲激函数函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。一、单位阶跃函数下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列γn(t)如图所示。1.定义2.延迟单位阶跃信号3.阶跃函数的性质（1）可以方便地表示某些信号f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分二．单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。狄拉克(Dirac

2、)定义函数序列定义δ(t)冲激函数与阶跃函数关系冲激函数的性质1.狄拉克(Dirac)定义函数值只在t=0时不为零；积分面积为1；t=0时，，为无界函数。2.函数序列定义δ(t)对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。求导高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。3.δ(t)与ε(t)的关系求导n→∞求导引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导三．冲激函数的性质取样性冲激偶尺度变换复合函数形式的冲激函数1.取样性(筛选性)对于平移情况：如果f(t)

3、在t=0处连续，且处处有界，则有证明举例2.冲激偶τ↓冲激偶的性质①f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)证明②证明δ(n)(t)的定义：δ’(t)的平移：③例3.对(t)的尺度变换证明推论:(1)δ(2t)=0.5δ(t)(2)当a=–1时所以，δ(–t)=δ(t)为偶函数，δ’(–t)=–δ’(t)为奇函数举例举例已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)求导，得g(t)压缩，得g(2t)4.复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不

4、相等的实根ti(i=1，2，…，n)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε[f(t)]图示说明：例f(t)=t2–4一般地，这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为的n个冲激函数构成的冲激函数序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)#冲激函数的性质总结（1）取样性（2）奇偶性（3）比例性（4）微积分性质（5）冲激偶四.序列δ(k)和ε(k)这两个序列是普通序列。1.单位(样值)序列δ(k)取样性质：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)

5、δ(k–k0)例定义2.单位阶跃序列ε(k)定义ε(k)与δ(k)的关系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…定义取样性质举例0ε(t)