数学科普知识

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1、数学的科普知识一、高等数学与初等数学的区别？从研究“常量”发展到研究“变量”从研究“有限”发展到研究“无限”对于以上两点，我们从下面这几个方面加以阐述。1．什么是悖论悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。2．芝诺悖论芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图

2、证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。下面的是芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟：乌龟先出发，比如乌龟走到10米处，兔子开始出发追乌龟。当兔子追到10处的时候，乌龟已经在下一个点了；当兔子追到下一个点，乌龟已经在下下个点了，以此类推，兔子永远追不上乌龟。问题的症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。3.芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展2）较早的“反证法”及“无限”

3、的思想3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。下面我来做下面的问题：有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了一个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了n个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。又来了

4、无穷个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了n旅游团，每个团的旅客都是无穷个，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了无穷个旅游团，每个团的旅客都是无穷个，能住下么？这些问题的答案都是：能住下。可能出乎你的意料。部分应当小于总体！部分怎么能等于总体呢？！让我们接着看。4．无限与有限的区别和联系区别1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。2.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立。例如：实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立：(a+b)+c=a+(b+

5、c)但在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如5．数学中的无限在生活中的反映1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的（整体看又是圆的）2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的（许多刀合在一起的效果又是光滑的，可以挫成圆形的）3）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。6．数学对“无限”的兴趣数学严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶

6、。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。二、黄金分割1．斐波那契数列黄金分割这与“斐波那契数列”有关。若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1,1,2,3,5,8,13,……这个数列来源于“兔子问题”：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？由上图可见，兔子问题的答案即是“斐波那契数列”。而这个数列的后一项与前一项的比就是黄金分割！2．黄金

7、分割斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“和谐”。下面举例说明：1）人体各部分的比肚脐：（头—脚）印堂穴：（口—头顶）肘关节：（肩—中指尖）膝盖：（髋关节—足尖）2）著名建筑物中各部分的比如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为340∶553≈0.615

8、；3）美观