第4章 流体的稳定流动 伯努利方程

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1、流体力学是研究流体（液体和气体）平衡和运动的规律以及流体与固体之间相互作用的科学。流体最鲜明的特征是它的流动性，这是区别于固体的一个根本性质，其次，流体还具有粘滞性、可压缩性（与气体相比，液体的可压缩性是很小的）。本章分为两大部分，第一部分讨论流体静力学问题，如静止流体的压强、压强的传递、压强的分布、浮力等；第二部分讨论流体动力学，着重讨论理想流体的连续性原理和伯努力方程，至于粘滞流体的运动、运动流体对物体的作用等也作了一定的介绍。由于流体力学研究的是流体的机械运动，因此，反映机械运动共同本质的质点、质点组力学规律，对流体也同样适用。另一方面，流体还具有本身所特有的规律，如连续性

2、原理、伯努利方程等。§1理想流体实际流体流动中，流体各层有相对滑动时，相邻两层之间存在摩擦力，这种力阻碍流体各部分间的相对滑动，流体的这种性质，称为粘滞性，在很多情况下，粘滞性可以忽略不计。完全不可压缩又无粘性的流体叫做理想流体。本章基本上只讨论理想流体，将其看成流体微团的连续分布。实际流体都是可压缩的。就液体来说，压缩一般都很小，气体的压缩性比较大，但它的流动性也很大，只要有很小的压强差就足以使气体迅速流动起来，各处密度差异并不大。因此在研究气体流动的许多问题中，压缩性是可以忽略的。即一般在我们研究的问题中，压缩性和粘滞性是影响流体运动的次要因素，只有流动性才是决定运动的主要因

3、素。为了突出流体的这一主要特征，我们引入理想流体这一模型：又称“干水”根据平衡条件有：因为在推证中，q角可取任意值，对棱柱的方位又未加任何限制，故说明在静止液体内任一点“向各个方向的压强都相等”。水平方向：竖直方向：为三阶无穷小量，可略去不计§3流体运动学的基本概念一、流迹•流线和流管研究流体运动的方法有两种：1、拉格朗日法：将流体分成许多无穷小的微元，求出它们各自的运动轨迹（称做迹线，pathline）。这实际上是沿用质点组动力学的方法来讨论流体的运动。2、欧勒法：把注意力集中到各空间点，观察流体微元经过每个空间点的流速v，寻求它的空间分布和随时间的演化规律。着重介绍欧勒法任t

4、时刻流速场任t时刻流线：在流速场中画出许多曲线，其上每一点的切线方向和流速场在该点的速度方向一致。如图(a)流线不会相交。任t时刻流管：在流体内做一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所围成的细管。流管内、外的流体都不会穿越管壁。二、定常流动一般说来，流速场的空间分布是随时间而变化的，即定常流动时，流体是在固定的流管中运动，而流管无限变细即成为流线，这就意味着流体微团是沿流线运动的。在特殊情况下流速场的空间分布不随时间改变，即流体的定常流动（steadyflow）流体的不定常流动如图(c)换句话说，定常流动时的流线与流迹相重合。三、不可压缩流体的连续性方程1、流量在流速场中取任一流

5、管的横截面元dS，则dt时间内通过面元dS的流体体积和质量分别为dSvdtv体积流量质量流量单位时间内通过面元dS的流体体积（或质量）称为体积（或质量）流量，记作dQv（dQm）。按此定义，则有为了把流量的表达式写得更简洁，我们引进面元矢量的概念：的大小等于dS，方向沿法向vdtdSv流量可以写为通过有限曲面S的流量为：2、不可压缩流体的连续性原理沿任意流管有vds=常量，在物理实质上体现了流体在流动中质量守恒。§4伯努利方程研究流体力学问题，必须注意流体处于静止还是在流动。流体在流动中的压强分布与静液迥然不同。这里研究在惯性系中观察理想流体在重力场中作定常流动时一流线上的压强、

6、流速和高度的关系，即伯努利方程。伯努利方程是1738年首先由丹尼耳伯努利（DanielBernoulli1700--82）提出的，这不是一个新的基本原理，而是质点系动能定理在流体中的应用。1•2•伯努利方程的推导如图所示，在作定常流动的理想流体中任取一根流管，用截面隔出一段流体。在时间间隔Δt内，左端的S1从位置a1移到b1，右端的S2从位置a2移到b2。因没有粘滞，即没有耗散，我们可以运用机械能守恒定律于这段流管内的流体。令分别是在同一时间间隔内流入和流出的流体体积对于不可压缩流体的定常流动在b1到a2一段里虽然没有流体更换了，但由于流动是定常的，其运动状态未变，从而动能和势能

7、都没有改变。故考查能量的变化时只需计算两端体元△V1与△V2之间的能量差。首先看动能的变化再看重力势能的改变外力对这段流管内流体所做的功.设左端的压强为p1,作用在S1上的力F1=p1S1,外力作功为右端的压强为p2,作用在S2上的力F2=p2S2,外力作功为故A外=A1+A2=(p1-p2)△V由功能原理因1、2是同一流管内的任意两点，所以上式也可表达为沿同一流线对于伯努利方程，应注意以下几点：1、方程在惯性系中成立；2、只有对同一条细流管（或同一条流线）上的各点才有方程所表明