指数函数与对数函数,幂函数复习讲座

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1、指数函数与对数函数复习一．知识归纳：1、指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，其图象性质见下表：指数函数对数函数函数式定义域值域图象XY1XY1XY1XY1图象特点1、过（0，1）2、在单调递增3、当x>0时，y>1当x<0时，01当x>0时，01时，y>0当01时，y<0当00底数变化规律函数图象在y轴

2、右方从下至上，底从小到大函数图象在x轴上方从左至右，底从小到大奇偶性非奇非偶非奇非偶最值无最值无最值2、分数指数幂及运算性质（1）定义：（2）运算性质：3、对数定义及运算性质（1）定义：若，则数叫做以为底N的对数，记作（2）常用对数、自然对数对数当底数时，叫常用对数，记作；当底数时，叫自然对数，记作（3）对数恒等式：，（4）换底公式：（5）对数运算法则6说明：上述运算法则只有在各个对数都存在时才有意义4、应用指数、对数函数性质解题时要注意的几个问题（1）指数函数和对数函数的性质直接受底数a的取值范

3、围的影响，因此常进行分类讨论（2）两类基本函数均为单调函数，在闭区间上存在最大、最小值且均在区间端点处取得（3）比较几个数的大小时，若由函数的单调性来判断，一般可先看是否为同底、同指数；若不能直接用函数单调性，需引入中间变量（如与0、进行比较），综合运用多种函数的性质来解决。二．范例分析例1．比较下列各数的大小：　　①；②；③；④；⑤．　　思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，　　①＝；②＝；③＝；　　④＝－；⑤＝　　显然，以0、1为界将五个数分成三类：①＞1，④＜0，②③⑤三个数均在0到

4、1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y＝在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．　　答案：＞＞＞＞．　　点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路：　　（1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．　　（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y轴的右侧“右侧底大图高”；在y轴的左侧“左侧底大图低”．　　（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用

5、指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.76；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的．例2、已知函数。（1）若f(x)的定义域是实数集R，求实数m的取值范围；（2）若f(x)的值域是实数集R，求实数m的取值范围。　　分析解题：（1）这个问题比较容易，f(x)的定义域是R可以转化为对所有实数都成立，不成立;时,显然不可能;故　　得到实数m的取值范围是(4，+∞)；（2）解这个

6、题的关键在于弄清什么情况下原函数值域R，在提到对数函数性质时同学们都知道：“定义域是(0，+∞)，值域是R……”但是这二者之间互为因果，事实上只有定义域是(0,+∞)时，值域才是R，那么也就是说当的值域是(0,+∞)时，y=lgu的值域才是R，通过一次函数和二次函数图象分析，很容易得出正确答案。,可以取到(0,+∞)中的一切值,当时,要使可以取到(0,+∞)中的一切值,需解之得,故例3设，求使为负值的的取值范围.解：依题意，即即即∵∴即……①（1）当时，①式两边取以为底的对数，得（2）当时，①式两

7、边取以为底的对数，得（3）当＞0时，，∴①式恒成立，此时综上所述，当时，；当时，；当＞0时，.6评注：对①式两边取以为底的对数时，应注意讨论与1的大小，且不可遗漏=1的情况；利用指数函数、对数函数的单调性解指数、对数方程或不等式，一般需化同底，使之宜于处理.例4已知，方程的实根个数为（）0yXA1B2C3D4试题分析：此类题目涉及到“超越方程”，用初等数学知识不可能求出确切的解，也不需要求出确切的解，可考虑通过数形结合的思想，借助图象的直观性来作出判断。过程详解：在同一平面直角坐标系内作出函数和函

8、数的图象（如右图），易知选项为B例5设定义在上函数满足下列两个条件：（1）对一切正实数m、n，都有；（2）当x＞1时，＜0.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的单调性并加以证明；（Ⅲ）若的大小.解：（I）令m=n=1，得所以（II）设则由条件（I）得，由条件（II）得所以故为减函数.（III）∵∴∴又∵当时，而由（II）知是减函数，∴即∴.6幂函数要点精析一、知识精析1．幂函数的一般形式为y=x，其中x是自变量，是常数，其定义域是使x有意义的x值的集合．幂函数的定义域随幂指数的变化而变化，所