高中数学专题复习讲座之二--数列

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1、高考数学专题复习讲座之二——数列山西省平遥中学常毓喜数列是高中代数的重点内容之一，也是高考考察的重点，分值约占总分的8%—10%，考察的重点是等差、等比数列的基础知识，基本技能，基本思想方法，通过数列知识测试学生的逻辑推理能力，运算能力，分析和解决问题的能力，一般有一大一小两个题目，小题测重于数列自身知识的考察，诸如概念，性质，基本量的计算等，要求学生掌握基本概念和基本技能．大题多以综合考察为主，如与函数，不等式，方程，几何，向量等数学分支知识组合，中等难度，常体现函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想．在复习过程中要注意突出基本知识的深化，基本技能的

2、活用，常用方法的总结，重点知识的再现，注重探索、综合、应用型，加强思维、推理和运算．一、等差，等比数列的概念和性质等差数列等比数列定义an+1-an=d或an+1-an=an-an-1an+1/an=q或an+1/an=an/an-1通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1中项A=G=（ab≠0）前n项和公式Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2Sn=主要性质1.若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.2.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍组成等差数列3.am=an+(n-m)d．4.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a

3、n+an+1).5.若a1<0，d>0，则{an}是递增数列，Sn有最小值；若a1>0，d<0，则{an}是递减数列，Sn有最大值；1.若m+n=p+q,则aman=apaq.2.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍组成等比数列3.am=anqn-m基本量a1，an，n，d，Sna1，an，n，q，Sn【例1】{an}是等差数列，公差为d，若=72，a1-a2n=33，则d=A．3B．-3C．-2D．-1分析：由等差数列的定义及已知条件有nd=-18且(-2n-1）d=33，经整体代换可得d=-3，故而选B.【例2】已知：1是a2和b2的等比中项，又是与的等

4、差中项，又U=

5、

6、，则Uｎ的值是（）．A．0B．1C．1或0D．不存在分析：由已知可有即当ab=1时，a+b=2，a2+b2=（a+b）2-2ab=2，得=1，即U=1；当ab=-1时，a+b=-2，a2+b2=（a+b）2-2ab=6，得=-，即U=所以Uｎ=1或0，故而选C．【例3】设x，a1，a2，y成等差，x，b1，b2，y成等比，则U=的取值范围是（）A．；B．CD．分析：由a1+a2=x+y，b1b2=xy有U=，又由已知有xy≠0，若xy＞0，则U≥=4；若xy＜0，则U==2+≤2–2=0；综上所述选B.【例4】设{an}是公比为q的等比数列，

7、Sn是它的前n项的和，若{Sn}是等差数列，则q=.分析：当q=1时，Sn=na1,Sn-Sn-1=na1-(n-1)a1=a1是常数，这时{Sn}是等差数列；当q≠1时，Sn=，Sn-Sn-1=a1qn-1不是常数，即{Sn}不是等差数列，所以q=1.【例5】在等差数列{an}中，若a10=0，则有a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n（n<19,n∈N*），类似于上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿成立．分析：等差数列{an}中，a10=0a9+a11=a8+a12=……=a1+a19=0a1

8、+a2+……+a19=0同理，等比数列{bn}中，b9=1b8b10=b7b11=……=b1b17=1b1b2……b17=1（n<17,n∈N*）另外：数列是特殊的函数，解决数列的有关问题时，要注意函数与方程思想的应用.诸如：【例6】（1997年全国）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3与S4的等比中项为S5，S3与S4的等差中项为1，求等差数列{an}的通项．分析：解决此题的关键是灵活应用Sn的有关公式．【解法1】（基本量与方程的思想）根据题意有：，整理得：解得：或，所以an=1或an=-n．【解法2】设Sn=an2+bn，则由得：，所以：或，故Sn

9、=n,Sn=n2+n,从而an=1或an=-n．【解法3】由已知可知，数列{}也是等差数列，所以或所以数列{an}的公差为d=0或d=．又在等差数列{an}中，因为am=an+(n-m)d,所以：an=a4+(n-4)0=1,或an=a4+(n-4)()=-n注：若{an}是等差数列，则数列{}也是等差数列．【解法4】根据等差数列的性质，有，，．所以：,所以an=1,或an=-n★练习：在等差数列{an}中，已知S10=100，S100=10，则S110=．(用方程的解法可得：a1=,d=,进而求得S110=-110.)此题至少有5种解法，不妨试试看！【例7】

10、已知{an}为等差数列，Sn是它的前n