2011届高考数学冲刺讲座

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1、2011届高考数学知识梳理第一部分　　集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.[举例]已知集，求.分析：集合P、Q分别表示函数与在定义域R上的值域，所以，，.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.[举例]若且，求的取值范围.分析：集合A有可能是空集.当时，，此时成立；当时，，若，则，有.综上知，.注意：在集合运算时要注意学会转化等.3、若函数的图像关于直线对称，则有或等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数的图像关于直线的对称曲线是函数的图像，函数的图像关于点的对称曲线是函数的图像.[举例1]若函数是偶函数，则的图像关于对称

2、.分析：由是偶函数，则有，即，所以函数的图像关于直线对称.或函数的图像是由函数的图像向右平移一个单位而得到的，的图像关于轴对称，故函数的图像关于直线对称.[举例2]若函数满足对于任意的有，且当时，则当时.分析：由知，函数的图像关于直线对称，因而有成立.，则，所以.即时.4、若函数满足：则是以为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数满足：则是以为周期的函数.（注意：若函数满足，则也是周期函数）［举例］已知函数满足：对于任意的有成立，且当时，，则＿＿＿＿＿＿.分析：由知：，所以函数是以2为周期的周期函数.，，故意原式值为0.5、奇函数对定义域内的任意满足；偶函数对定义域内的任意满足.注意

3、：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若是奇函数且存在，则；反之不然.［举例1］若函数是奇函数，则实数＿＿＿＿＿＿＿；分析：注意到有意义，必有，代入得.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.[举例2]若函数是定义在区间上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数是偶函数，必有，得；又由是偶函数，因而.即，所以此函数的值域为.6、奇函数在关于原点对称的区间内增减

4、性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数的图像关于直线对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.［举例］若函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足：，求的取值范围.分析：因为是偶函数，等价于不等式，又此函数在上递增，则在递减.所以，解得.7、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数的图像，作出函数的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注的图像.［举例］函数的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数

5、的图像是由函数的图像经过下列变换得到的：先将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的（或将函数的图像向上平移1个单位）得到函数的图像，再将函数的图像作关于轴对称得到函数的图像，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像向下平移1个单位得到函数，最后将函数的图像在轴下方部分翻折到轴上方得到函数的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是与.需要注意的是：函数图像变化过程：与变化过程：不同.前者是先作关于轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线对称.8、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含

6、有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.［举例1］已知函数，若不等式的解集不为空集，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.O1分析：不等式的解集不为空集，亦即函数的图像上有点在函数的图像的上方.函数的图像是轴上方的半支抛物线，函数的图像是过点斜率为的直线.当时直线与抛物线相切，由图像知：.（注意图中的虚线也满足题义）[举例2]若曲线与直线没有公共点，则应当满足的

7、条件是.1-1O分析：曲线是由与组成，它们与轴的交点为和，图像如图（实线部分）.可以看出若直线曲线的图像没有公共点，此直线必与轴平行，所以，.9、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数的单调性.[举例]已知函数在上是单调增函数，求实数的取值范围.分析：函数称为“耐克”函数，由基本不