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《历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(六)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(六)题61设直线都是平面直角坐标系中椭圆+=的切线，且，、交于点P，则点P的轨迹方程是．（第十二届高二培训题第47题）解设直线=与椭圆+=相切，则二次方程+，即有两个相等实根，其判别式，解得．因此斜率为的椭圆的切线有两条：①，与其中每条垂直的切线也各有两条：②；另有与轴垂直的切线两条：，与其中每条垂直的切线又各有两条：．由①、②得=③，④，④式即⑤．③+⑤得即⑥．又点都适合方程⑥．故点P的轨迹方程为．评析这是一道典型的用交轨法求轨迹方程的问题．解题的关键有两个：如何设两条
2、动切线方程与如何消去参数．当切线的斜率存在时，我们可设其方程为，此时出现两个参数与，由于此切线方程与椭圆的方程组成的方程组有且只有一解，故由二次方程有等根的条件得（这与事实一致：斜率为的椭圆的切线应当有两条），从而切线方程为，那么与其垂直的椭圆的切线方程就是将此切线方程中的换成所得方程，即．此时突破了第一关．下面是否通过解方程组得交点轨迹的参数方程，然后再消参得所求轨迹方程呢？想象中就是非常繁琐的．上面题解中的方法充分体现了消参的灵活性，大大简化了解题过程．然而，事情到此并未结束，以上所设切线方程是以切线有斜率为前提的
3、，是否有不存在斜率的椭圆的切线呢？于是引来了分类讨论，当然，此时只要将几个点的坐标代入所求的方程，看是否适合即可．拓展如果留心，我们会发现所求轨迹方程中的10正好是已知椭圆方程+=中的7与3的和．那么，是否将椭圆方程改为，则所求轨迹方程就是了呢？经研究，果真如此．于是我们得到定理1设直线、都是椭圆的切线，且，、交于点P，则点P的轨迹方程是．证明设为椭圆的切线,由,②,①,得，由，得，所以，所以两垂直切线为，另有四对：,①式变为③，②式变为④．③+④得．特殊四对垂线的交点坐标也都适合⑤，故P点的轨迹方程为．若将定理1中的
4、椭圆改为双曲线，是否也有相类似的什么结论呢？为了证明定理2，先引进两个引理．P(x0,y0)P1(x0,y1)yOx引理1若双曲线的切线的斜率存在，则．证明对于两边取的导数知双曲线上任意一点P（）处切线的斜率有==①，又，代入①得．引理2如果双曲线有，则不存在垂直切线．证明假设双曲线存在两条垂直切线，则这两条切线必然都存在斜率，斜率分别记为，，由引理1知,,,即1>1,矛盾,所以不存在垂直切线．定理2设直线都是双曲线的切线，且，交于点P，则点P的轨迹方程为．证明当一条切线的斜率不存在时，该切线必然经过双曲线实轴上的顶点
5、，这时另一条垂直切线不存在．已知是垂直切线，所以斜率必然都存在．③,②,设为双曲线的切线，则由得①，由引理1知，所以，所以且．由①中，得，两条垂直切线为⑤,④,变形为④+⑤得，即为点P的轨迹方程．将定理1、2中的椭圆、双曲线改为抛物线，我们又可以得到定理3抛物线的两条互相垂直的切线的交点M的轨迹方程为．证明当其中一条切线过抛物线顶点时，另一条垂直的切线不存在，已知是垂直切线，所以斜率必然都存在．②,①,设是的切线，则，由得，令得，故两条垂直的切线为消去参数，得为点M的轨迹方程．将前面定理中的二次曲线改为圆，又得Oyx定
6、理4圆的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程是.证明如图，易知四边形APBO1为正方形，所以PO1=，所以点P的轨迹是以O1为圆心，为半径的圆，其方程是．比较定理1和定理4，我们不难知道圆是椭圆的特殊情形，当椭圆的长轴与短轴长相等时，椭圆变成了圆．请运用上述定理完成下面的练习：1、设都是圆的切线，且，交于点P，求点P的轨迹与坐标轴在第一象限围成的面积．2、设直线都是椭圆的切线，且，交于点P，求动点P到该椭圆的最近距离．3、已知双曲线的一条切线，（1）求的最小值；（2）过点（1，1）是否有两条垂直的切线？（3）当=1，时
7、，求与垂直的双曲线的切线．答案：1.2.3.（1）1（2）不存在（3）和题62已知曲线C上任意一点到定点A（1，0）与定直线的距离之和等于5.对于给定的点，在曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围.（第十二届高二第二试第23题）解法1令为曲线C上任意一点，由题意得.故曲线C的方程为，即曲线C由两段抛物线和拼接而成.设关于点的对称点为，则有，由于和都是关于轴对称的，所以，当时，点与同在上或同在上，只有唯一的情形：与.当点与分别在,(或，)上时，不妨设在上，在上，则，即，解得.因为，,所以.但当时，得，则，这时只有
8、一对对称点分别在与上，故应当排除，因此当时，，关于点对称的点对只有与，与是分别在，上的两点，于是为所求.yxNPQOSRTBM54解法2设，由题意得，化简得为C的方程，其图象由两段抛物线拼接而成（如图）.由抛物线的对称性，可知时总有一对点位于同一段抛物线上且关于点B对称.若另有两对点关于点B对称，则每一对的两个点必分别位于两段抛物
