地下管线规划

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1、2006年兰州理工大学数学建模竞赛题B准备在A地与B地之间修建一条地卜'管线，B地位于A地正南面20km和正东30km交汇处，它们之间有东酋走向岩石带。地卜•管线的造价与地质特点有关,下图给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为三条沿东西方向的地质带，其宽度分别为：沙土地质带宽C],沙石地质带宽C2,岩石地质带宽C3。抄土沙石■P«///////////////////zW////沙石1、~—S沙土Ci666Ci在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况下，解决以下几个问题：(1)图中直线显然是路径最短的，但不一定最便宜；而路径ARSB过岩石和沙石的路径最短，但是

2、否是最好的路径呢？试建立一个数学模型，确定最便宜的管线铺设路线。(2)铺设管线时，如果要求管线转弯时，角度至少为仅，确定最便宜的管线铺设路线，并就此进行灵敏度分析。(3)铺设管线时，如果耍求管线必须通过位于沙石地质带或岩石地质带中的某一已知点P时，确定最便宜的铺设路线。地下管线规划模型陈帮财（韶关学院数学系05信息与计算科学，512005）摘要木文根据题意，运用数学规划的思想，在已知管线与各地质层的交点的情况下，每个地质层间的直线铺设无疑是最短的，因此要求最优管线铺设路线，只要求出管线与各地质层的交点即可，对于问题一建立了规划模型，运用lingo软件求出了满足条件

3、的最优管线铺设路线。问题二在问题一的基础上进行推广，加入了管线转弯时角度至少为。的限制，在通过一系列的儿何计算后，将转弯时角度的限制转化为地质层交界面与管线交点的横坐标％的取值范带I的约朿在问题一的模型的基础上建立新的模型。问题三又是问题二的进一步推广，要求管线经过己知点P,通过将原來P点所在地质层用平行于横轴的直线重新划分为两个新的地质层，将约束条件要求管线经过已知点P,转化为管线与两个新地质层交面的交点为P点，按照对之前对交点处理方法容易将约束条写成表达式，加入新的约束条件后，对模型用lingo求解就可以得到最优管线铺设路线。最后本文还将模型推广能到处理-•般

4、的地质分布情况。关键词：线性规划；条件转化；细分求解1问题的提岀在修建地卜•或管线或者进行公路建设时，由于地质结构的复朵性，不同的地质结构将会有不同的造价，为了更好的节约资源，我们不得不对铺设路线进行规划。现准备在A地与B地之间修建一条地下管线，B地位于A地正南面20km和止东30km交汇处，给出整个地区的人致地质情况及各种地质条件上每千米的修建费用，要求建立数学模型，求出满足条件下的最便宜的铺设路线。2模型的假设与符号约定2.1基本假设1.假设各地质层的交界呈直线走向。22符号说明乞：第冷地质带，其屮，由图示由上到下分别为心1・・5Z,:九与几个地质带交界而与管

5、线的交点;百：点4与西的距离；XjXi+[:点兀•与兀注[的距离;诽：点兀4与点B的距离；巧：第/类地质层的管线造价,7=1-3分别为沙土、沙石、岩石；S:管线的总造价；4：冷取值的下界;d：%+i取值的上界;＜：P点的模坐标值。3模型的建立与求解3.1.1问题一模型的建立如图1所示，对区域进直角坐标化：（图1）从图中可知直线是所有线路中最短的，但不一定最便宜；可是如果已知点％与力冲，显然直线力Z+i是最短的路线，而％到力冲段的总造价也是最低的。由图1可知:心1=孙+対ZiZ2=Vc2+（Z2-Zi）2vZ2Z3=VC3+（Z3-Z2）2Z3Z4=Jc］+（力4-

6、力3）2才=Jcj+（3（）_/）2J由于每段都是最低造价，所以总造价也是最低的，我们可以得出以下的规划模型。minS=S］（A$+力B）+$2（Zi力2+力3九）+$3力2力3力+12XiZ1^0stA力4§302q+2c2+C3=203.1.2问题一模型的求解问题一模型是一个线性规划，利用lingo软件可以容易求得结果。不妨取造价32205.=100,*=200,归=400,地质带宽c,=—*20,c2=—*20心二丄进行计算，此123111-1111时可得：力］=12.89834力2=14.78490<=15.21510龙4=17.10166S=5186.8

7、513.2.1问题二模型的建立问题二是对问题一的一个扩展，增加了要求转弯时要求转角人于Q的限制，可通过如下图所示方法，将转角的限制转化为坐标上长度的限制，对于力冲有对于点力通过计算可求得与AZ1相交于Z1处夹角为—的两条直线的方程序，通过直线方程又可求得A与d的横坐标力，具体做法如下：宜线与力轴的夹角为刃，tanof'=—,a-arctan—,与直线A龙［相交ZiZi于％处夹角为71-a的两条直线的斜率为：k=tan（Q‘±7r+a）,通过公式V-y（）=-力（））可求得两条直线的方程。将两直线方程与y=q+2c2+c、3联立解方程组就可求出人与d的横坐标zo同理

8、可求得4与