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1、统计聚类分析一、多元统计的基本概念（1）随机向量：总体，样本，观测值。。。（2）分布函数：离散型，连续型，密度函数（3）数字特征：期望方差协方差矩阵自协方差阵相关矩阵二、统计距离（1）欧氏距离（2）点与总体的欧氏距离缺点：距离的大小与度量有关（3）两点之间的马氏距离（4）点与总体的马氏距离优点：距离的大小与变换无关（5）距离的公里体系特殊情形：欧洲各国文字的相似程度距离定义：两种语言10个数量词的第一个字母不相同的个数。一、距离判别—聚类分析（1）两总体和的情形，是一个样本若，若，若，无法确定一般可用判别函数：马氏距离：注意：表示期望表示协方差矩阵正态分布，假设检验（2）多总体的情形判
2、别函数：判别准则：是否属于第个样本（3）贝叶斯判别---总体的情形个总体的密度函数为个总体的先验分布为样本误判为的损失为损失概率为平均损失为目的：最小，确定划分判别：若落入，则，（4）费歇判别---总体的情形思想：选取投影向量.同一类别尽量聚拢,不同类别尽量分开。来源：多元方差分析，将数据投影到一个方向向量，投影数据的组间距离、投影数据的组内距离，对应矩阵和目的：组间平方和《==》尽量大组内平方和《==》尽量小达到最大值为方程的最大特征值特征值对应特征向量注意：若不能很好判断，可继续选取对应特征向量一、数学模型竞赛题解MCM1989问题A 蠓虫分类 生物学家试图对两类蠓虫(Af与Ap
3、f)进行鉴别,依据的资料是蠓虫的触角和翅膀的长度,已经测得9只Af和6只Apf的数据,(触角长度用x表示,翅膀长度用y表示)具体数据为:表4-4Af类触角和翅膀长度x1.241.361.381.381.381.401.481.541.56y1.271.741.641.821.901.701.821.822.08表4-5Apf类触角和翅膀长度数据x1.141.181.201.261.281.30y1.781.961.862.002.001.96现需要解决三个问题:（1）根据原始资料15对数据,被称之为学习样本)制定一种方法,区分两类蠓虫;（2）依据确立的方法,对题目提供的三个样本：(1.
4、24,1.80)，(1.28,1.84)，(1.40,2.04)加以识别;（3）设Af是宝贵的传粉益虫,Apf是某种疾病的载体,是否应该修改分类方法。问题的转化：两类蠓虫(Af与Apf)《==》平面两个点集合（样本点）改进：更加细致的分类2000A题 DNA序列分类2000年6月,人类基因组计划中DNA全序列草图完成,预计2001年可以完成精确的全序列图,此后人类将拥有一本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写成的“天书”是由4个字符A、T、C、G按一定顺序排成的长约30亿的序列,其中没有“断句”也没有标点符号,除了这4个字符表示4种碱基以外,人们对它包含的“内
5、容”知之甚少,难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中。研究DNA全序列具有什么结构,由这4个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律,又是解读这部天书的基础,是生物信息学(Bioinformatics)最重要的课题之一。虽然人类对这部“天书”知之甚少,但也发现了DNA序列中的一些规律性和结构。例如,在全序列中有一些是用于编码蛋白质的序列片段,即由这4个字符组成的64种不同的3字符串,其中大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如,在不用于编码蛋白质的序列片段中,A和T的含量特别多,于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也
6、取得了一些结果。此外,利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性,等等。这些发现让人们相信,DNA序列中存在着局部的和全局性的结构,充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节,突出特征,然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。作为研究DNA序列的结构的尝试,提出以下对序列集合进行分类的问题:下面有20个已知类别的人工制造的序列(见反面),其中序列标号1—10为A类,11—20为B类。(1)tgacctcttgtcctgtatagcaacctatttggtaatgattccag
7、cactcacagaaaagct(2)tgcacacatacacacacaccccacccctccccactaacaaatgcaagttggtaaacaaat(3)tccaaaaaggcataacaaaccttatatatatagacaaatatatattaaagttttttagtc(4)tgtactagaaagagcttcagacagaactgaccaccattccattgctcatcaatttcctgg(5)gacagcacctgagcgt
