从头到尾彻底理解傅里叶变换算法

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1、从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、 DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（RealDFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fouriertransform）是一种线性

2、的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。   哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换   一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或

3、级数形式。这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。连续傅里叶变换的逆变换(inverseFouriertransform)为：即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transformpair）。除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（FractionalFourierTra

4、nsform）。分数傅里叶变换(fractionalFouriertransform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fouriertransform,FT)的广义化。分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换a次，其中a不一定要为整数；而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(timedomain)与频域(frequencydomain)之间的分数域(fractionaldomain)。当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换（cosinetransform）或正弦变换（sinetransform）.另一个值

5、得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F(−ω)=F*(ω)成立.傅里叶级数   连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数(Fourierseries)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：其中Fn为复幅度。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：其中an和bn是实频率分量的幅度。离散时域傅里叶变换   离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。离散傅里叶变换  离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和

6、频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。  为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换（DFT），将函数xn表示为下面的求和形式：其中Xk是傅里叶幅度。直接使用这个公式计算的计

7、算复杂度为O（n*n），而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为O（n*lgn）。（后面会具体阐述FFT是如何将复杂度降为O（n*lgn）的。）计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。  下面，比较下上述傅立叶变换的4种变体，   如上，容易发现：函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。也就是说，时间上的离散性对应着频率上的周期性。同时，注意，离散时间傅里叶变换，时间离散，频率不离散，它在频域依然是连续的。  如