盈不足问题课件

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1、盈不足问题《九章算术》中第七章的第一题是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数物价各几何？其意是：有若干人共同买东西，如果每人出８块钱，则余３声，如果每人出７块钱，则少４块，问人数及所买东西的价格各是多少？《九章算术》是在中国数学著作中影响最大的一部。全书分九章共２４６个应用问题，是以问题集形式出现的数学名著。它成书于公元１世纪，内容丰富多彩，在许多方面都居于世界领先地位。“盈不足问题”的解决方法被称作盈不足术，设人出a1盈b1，人出a2不足b2，则（1）（2）（3）按照这组公式，开始所述问题可得解有一个盈数和一个

2、不足数是简单的标准的盈不足问题，使用公式（1）、（2）、（3）问题便迎刃而解。如果把这组公式作适当的变通，则可以解出“两盈”、“两不足”。“一盈一适足”、“一不足一适足”等问题。下面是这四类问题的例子。“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数金价各几何？”“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数羊价各几何？”“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数豕价各几何？”“今有共买犬，人出五，不足九十，人出五十，适足。问人数犬价各几何？”以上四个问题的解题公式是：对于“两盈”或“两不足”

3、问题，有对于“一盈一适足”或“一不足一适足”问题，有其中a1、a2是前后两次付款数，b1、b2是相应的或盈，或不足，或适足数。据上述公式，可分别计算出上述四题的答案，按顺序为：33人，金价9800；21人，羊价150；10人，豕价900；2人，犬价100。在《九章算术》的盈不足章中，前八个题目是明显的盈不足问题。而后面的十二个题，在形式上不属于盈不足问题，但是作者仍然用盈不足术来解，十分巧妙。例如，“今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？”其意是：有一堵高9尺的墙，墙顶上长一棵

4、瓜，瓜蔓日长7寸往下爬；墙脚种瓠，瓠蔓日长1尺往上爬，问几天后瓜和瓠相逢，相逢时瓜和瓠各长多少？我们假设生长了5日，瓜瓠共长了（0.7＋1）×5=8.5（尺），距9尺还差5寸，再设生长了6日，瓜瓠共长了（0.7＋1）×6=10.2（尺），比9尺又多出了1.2尺。即“假令五日，不足五寸，令之六日，有余一尺二寸。”可见，此时问题表现就是盈不足问题。瓜瓠相逢日数=瓜长长度=瓠长长度=这种计算方法在形式上是先采取两次假设，得出相应数值，以此为条件便构成盈不足问题，进而用盈不足术解之。盈不足术后来被传到西方，受到数学家们的高度重视，得到

5、了辉煌的发展，在世界数学只上占有相当高的地位，特别是通过两次假设再使用盈不足术的解题方法（假设法）倍受人们推崇。13世纪的阿拉伯数学家们对“假设法”作了力学解释，并称之为“秤盘法”。这在1222年伊本—阿尔班纳的著作《塔尔基斯》中有记载“秤盘法是一种几何方法，其内容为：取一定形式的秤，并在支架上放上已知量。在一秤盘上放一任选量，然后根据要求增加，所得结果与已知量比较，如果任选量对了，则秤盘上的量即等于已知量；如果没选对，则记下这一盘的误差。然后，在另一秤盘中放入另一任选量，重复以上步骤。做完这些之后，将每盘误差乘以另一盘之量，

6、如果两盘误差都是正数或都是负数，则从较大误差中减去较小误差，同时，从较大的乘积减去较小的乘积，之后，将乘积之差除以误差之差。如果两盘之误差一正一负，则将乘积之和除以误差之和。”假设法（或称秤盘法）可以算是一种一次内插法，在高等数学中求某些方程的近似实根时，要借助这种方法。著名科学史专家李瑟说得好：“盈和不足的要领在哲学上是十分重要的，它推动了所有的古代数学，也推动了希腊的生物学。”第七讲盈亏问题解盈亏问题，常常用到比较法。例1：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动，如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖，这个班少

7、先队有几个人？要搬的砖共有多少块？（共有少先队员9人，砖的总数是43块。）例2：妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少5个苹果，那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？（有苹果128个，计划吃20天。）例3：学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？（小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。）例4：学校为新生分配宿舍，每

8、个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，由空出3个房间，问宿舍有多少间？新生有多少人？（有19间宿舍，新生有80人）例5：少先队员去植树，如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多少先队员参加植树，一共种多少树苗？（有